Примеры решения задач

Задача 1. Точечный заряд q находится на расстоянии d от бесконечного проводника, занимающего левое полупространство. Определить поле в правом полупространстве и плотность зарядов, индуцированных зарядом q на поверхности проводника.

Решение. Рассмотрим поле совокупности двух зарядов: заданного заряда q и его зеркального изображения - q. Поле совокупности этих зарядов удовлетворяет граничным условиям задачи, из чего на основании теоремы единственности следует, что поле это тождественно с искомым полем заряда q и зарядов индуцированных им на поверхности бесконечного проводника.

 

Рис.1.

Введём цилиндрическую систему координат, ось которой направлена вправо и проходит через заряд q, а плоскость z=0 совпадает с поверхностью проводника. Расстояние произвольной точки А от зарядов ⁺q и ^-- q равно соответственно

; .

Потенциал в точке А:

;

На поверхности проводника (z=0).

где R - расстояние элемента поверхности проводника от заряда q.

Плотность заряда

.

Задача 2. В цилиндрическом конденсаторе с воздушной изоляцией вокруг внутреннего электрода располагается объёмный заряд (короны) с объёмной плотностью ρ. Толщина слоя объёмного заряда задана (рис. 2). Плотность заряда на поверхности внутреннего провода равна σ. Внешний электрод заземлён (φ=0). Найти закон изменения напряжённости электрического поля в зависимости от расстояния от оси.

Решение. Решим задачу, применяя теорему Гаусса, в интегральной форме

.

При r r₀ напряжённость поля равна нулю.

При r₀ r r₁ имеем

где S₁=2πr₀ - поверхность внутреннего цилиндра единичной длины.

 

 

r2

 

 

r1

 

Рис.2

 

,

так как в силу круговой симметрии поля вектор направлен по нормали к поверхности интегрирования

.

При r₁ r r₂

_.

 

Задача 3. Пример на расчёт потенциальных полей. В цилиндрическом очень длинном конденсаторе потенциал внутренней обкладки равен нулю. Потенциал наружной обкладки равен φ₂. Требуется найти распределение потенциала между обкладками. Диэлектрик - воздух. Геометрические размеры обкладки даются на рис. 3.

r1

r2

Рис.3

Решение:

Будем исходить из уравнения Лапласа. Наличие цилиндрической симметрии делает естественным записать эти уравнения в цилиндрических координатах

. (1)

Соображения симметрии, а также то, что цилиндр длинный, позволяют заключить, что значение потенциала φ зависит лишь от r (расстояния от общей оси цилиндров) и не зависит ни от θ ни от z.

Таким образом, уравнение (1) превращается в

.

Решение этого уравнения

φ=Аlnr + B. (2)

где А и В произвольные постоянные. Для их определения воспользуемся граничными условиями: При r = r₁ φ=0

При r = r₂ φ = φ₂

и значит

. (3)

Совместное решение системы (3) даёт:

, .

Окончательное решение, соответствующее заданному очертанию электродов, получим, вставив найденное значение постоянных в (2):

.

 

Основные формулы

Закон Кулона: .

где - единичный вектор, направленный по линии, соединяющей заряды Q₁ и Q₂; r - расстояние между зарядами.

Напряжённость электрического поля точечного заряда Q:

.

Потенциал электрического поля точечного заряда:

.

Потенциал электрического поля точечного, линейного, поверхностного и объёмного зарядов:

.

Зависимость между напряжённостью электрического поля и потенциалом:

.

Зависимость между напряжённостью электрического поля и электрическим смещением (электрической индукцией):

,

где ε₀=8,85 • 10^-12 Ф/м - электрическая постоянная; ε - относительная диэлектрическая проницаемость; ε_а - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; - вектор поляризации; χ_е -относительная электрическая восприимчивость.

 

Теорема Гаусса (в интегральной форме):

.

Теорема Гаусса (в дифференциальной форме):

div D =ρ.

Уравнение Пуассона и Лапласа:

; .

Основные уравнения электростатического поля:

rot E =0;

div E = ;

E = - gradφ.

Граничные условия в электрическом поле:

D_ln - D_2n = σ; E_1t - E_2t = 0,

где D_1n и D_2n - нормальные к граничной поверхности, составляющие вектора электрического смещения; Е_1t и E_{2 t} - тангенциальные (касательные к граничной поверхности) составляющие вектора напряжённости электрического поля; - поверхностная плотность свободных зарядов на поверхности проводника, помещённого в электростатическое поле:

Е_t=0; D = D_{n =} E= .

Энергия электрического поля:

.

Сила, действующая на заряд q:

F = q E.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Напишите закон Кулона в рационализованной форме.

2. Дайте определение напряженности поля, разности потенциалов и потенциала (потенциальной функции).

3. Какие силы действуют на диполь, расположенный в электрическом поле? Как выводится выражение этих сил?

4. Чему равен поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность?

5. Дайте определение градиента и дивергенции.

6. Сформулируйте теорему Гаусса.

7. Как можно выразить плотность заряда через j, Е и e?

8. Дайте общее определение векторов Е, Р, D.

9. Сформулируйте условия для векторов электрического поля на поверхности раздела двух диэлектрических сред.

10. Как выражается ёмкость (и проводимость) коаксиальных цилиндров?

11. Дайте определение потенциальных (ёмкостных) коэффициентов. Составьте схему для их опытного определения.

12. То же для частичных ёмкостей.

13. Сформулируйте уравнение Лапласа и уравнение Пуассона.

14. Незаряженный проводящий цилиндр внесён в равномерное поле. Какими граничными условиями следует пользоваться при отыскании произвольных, постоянных, входящих в решение уравнения Лапласа?

15. Какие соображения разрешают пользоваться методом зеркальных изображений?