Диэлектрический шар в равномерном поле

Если в равномерное поле помещен незаряженный диэлектрический шар, то, как внутри шара, так и вне шара, нет свободных зарядов и потому поле описывается уравнением Лапласа. И общее решение (11.57) годится и для данной задачи. Величинам, служащим для описания поля внутри шара, «припишем» индекс i, а величины, при помощи которых записывается потенциал во внешней по отношению к шару области, снабдим индексом е. Таким образом, для «внутренней» области

. (11.59)

Для «внешней» области:

. (11.60)

Надо найти 8 постоянных интегрирования. Потенциал «на бесконечности» в этом случае

j=j₀+E₀Rcosq.

Сопоставляем последнее выражение с (11.60):

С_2e=j₀ и С_3e=Е₀.

В п.11.14 было рассмотрено поле точечного заряда. Там было показано, что потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально R. Поэтому составляющая есть не что иное, как составляющая потенциала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный заряд. Так как суммарный заряд шара равен нулю, то в выражении для j_e эта составляющая должна выпасть. Другими словами,

C_1e=0.

Следовательно,

. (11.60')

В последнем выражении осталась неизвестна лишь одна постоянная С_4e. Рассмотрим выражение потенциала j _i, для внутренней области. Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара. Это может быть только тогда, когда С_1i = О и C_4i = 0 (если бы С_1i¹ 0, то слагаемое в центре шара при R = 0 давало бы бесконечно большое значение). Постоянная С_2i, с точностью до которой определяется потенциал в рассматриваемом поле, равна аналогичной постоянной С_2e = j₀ для внешней области. Таким образом, для внутренней области

. (11.59')

Две оставшиеся неизвестными постоянные С_4e и С_3i найдем из граничных условий.

Из равенства потенциалов j_e и j_i при R = а (это условие, как нетрудно убедиться, эквивалентно условию Е_1t = Е_2t) следует, что

.

Из равенства нормальных составляющих вектора D на границе следует, что

,

т. е.

.

Совместное решение двух последних уравнений дает

,

.

Потенциал внутренней области

. (11.61)

z=Rcosq.

Потенциал внешней области

. (11.62)

Напряженность поля внутри шара

;

Е направлена вдоль оси z и не зависит от координат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное.

На рис. 11.20 изображены линии вектора D и эквипотенциальные линии («картина поля») для трех случаев:

а) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен незаряженный проводящий шар;

б) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, e_i которого больше e_e окружающей среды;

в) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, e_i которого меньше e_e окружающей среды.

Как известно из предыдущего (п. 11.15), линии вектора D начинаются на свободных зарядах. Эти линии прерываются на поверхности металлического шара (рис.11.20, а) и проходят, не прерываясь, через диэлектрический шар (рис. 11.20, б и в). Если на рис.11.20, б и в вместо линий вектора D изобразить линии вектора напряженности поля Е, то линии Е претерпевали бы разрыв на поверхности шаров.

 

Рис. 11.20. Картина электрического поля при внесении в равномерное поле: а) - проводящего шара, б) – диэлектрического шара при e_i >e_e, в) - диэлектрического шара при e_i <e_e.