Проводящий шар в равномерном поле

Для определения четырех постоянных придется привлечь не только условие на поверхности шара, но и условия на весьма большом удалении от шара, теоретически на бесконечно большом удалении от шара или, как принято говорить, «условия на бесконечности».

Совокупность весьма удаленных от шара точек в условном смысле рассматривается при этом как «бесконечность». Если шар будет не заряжен, то все точки плоскости ХОУ, проходящей через центр шара, имеют один и тот же потенциал. Обозначим его j₀.

При удалении от шара на большое расстояние Z= Rcosq, по сравнению с которым радиус шара а весьма мал, возмущающее действие шара на поле либо вовсе не проявится (если суммарный заряд шара будет равен нулю),либо проявится как возмущение от точечного заряда (если шар будет иметь на себе суммарный свободный заряд Q). И потенциал j «на бесконечности» определится так:

. (11.58)

Первое слагаемое правой части дает составляющую потенциала от заряда шара Q, слагаемое Е₀Rcosq учитывает прирост потенциала от напряженности равномерного поля E₀ на пути Z=Rcosq. Так как решение (11.58) годится и для точек поля весьма далеко («бесконечно» далеко), удаленных от шара, то можно сопоставить выражения (11.57) и (11.58). Они должны давать один и тот же результат. Это будет только в том случае, когда соответствующие слагаемые в обоих выражениях равны друг другу. Из сопоставления следует, что

C₂=j₀; ; C₃=E₀.

Сопоставление «на бесконечности» не дает возможности найти величину C₄, так как в (11.58) нет слагаемого, изменяющегося обратно пропорционально второй степени R. Для нахождения С₄ воспользуемся тем, что в условиях электростатики все точки поверхности шара имеют один и тот же потенциал, это условие равносильно тому, что тангенциальная составляющая напряженности поля на поверхности шара равна нулю. При R = a

.

Очевидно, что правая часть будет постоянной при изменении q только при условии, что = 0. Отсюда

С₄= - E₀a³.

Таким образом, для всех точек диэлектрика

Так как потенциал зависит только от R и q, то напряженность электрического поля имеет только две составляющих

и

.

Если Q = 0, то на поверхности шара (при R = a)

E_R= -3E₀cosq

При q=0 E_r= -ЗЕ_о; при q=180⁰ E_R=3E₀, т. е. в этих точках напряженность поля стала в три раза больше напряженности равномерного поля Е₀, в которое был внесен шар. На «экваторе» при (q = 90°) напряженность, напротив, стала равной нулю.

Таким образом, капелька воды, попав в бак трансформатора с масляным заполнением, вызовет значительное местное увеличение напряженности поля.