Векторное произведение, его свойства и геометрический смысл

Тройка векторов называется упорядоченной, если каждому из них присваивается порядковый номер.

Упорядоченная тройка ненулевых и некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Примером правой тройки векторов является тройка ортов .

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется тремя условиями:

2. и , т.е.

3. Векторы , и , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку векторов.

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то полагают = по определению.

Рассмотрим свойства векторного произведения.

Рис. 11

1⁰. Из условия 1 непосредственно следует, что модуль векторного произведения ненулевых и неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отнесенных к общему началу. И модуль векторного произведения равен нулю, если векторы коллинеарны.

2⁰. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. В частности, = .

3⁰. Также из определения непосредственно следует, что векторное произведение антикоммутативно, т.е. = для любых векторов и .

4⁰. Векторное произведение сочетательно по отношению к скалярному множителю, т.е.

Действительно, направления всех трех векторов одинаковы, как на рис. 11, где μ<0.

И по определению модули всех трех векторов равны между собой: , где α = π – φ и потому sin α = sin φ.

Очевидно, сочетательное свойство остается в силе и тогда, когда векторы и коллинеарны либо μ = 0.

5⁰. Векторное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

Доказательство. Утверждение очевидно справедливо при Пусть .

Выберем прямоугольную декартову систему координат xyz, в которой данные неколлинеарные векторы отложены от начала О и определяют координатную плоскость yz. Выполним сложение векторов по правилу параллелограмма: (рис. 12).

По определению найдем векторные произведения:

(*)

Рис. 12

Каждый из новых векторов получен поворотом вокруг начала координат в плоскости yz соответствующего ему вектора на один и тот же угол π/2. При таком повороте параллелограмм, построенный на векторах с диагональю , переходит в равный ему параллелограмм, построенный на векторах с диагональю . Воспользуемся этим равенством и результатами (*).

Обе части последнего равенства умножим на число . В силу сочетательности векторного произведения по отношению к скалярному множителю получим:

Последнее алгебраическое свойство 5⁰ векторного произведения дает право при перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, а свойство 4⁰ позволяет объединять числовые коэффициенты векторных сомножителей. Например,

Следует, однако, еще раз напомнить, что порядок сомножителей векторного произведения является существенным и при перестановке сомножителей знак векторного произведения нужно изменить.

Задача 0.42. Доказать, что если , то

Доказательство.

Умножим векторно на .

Получим

Умножим векторно на . Получим

Из двух полученных равенств следует, что

Задача 0.43. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если

Решение. По определению векторного произведения =()×() площадь S параллелограмма, построенного на векторах и равна , т.е. S = . Найдем , учитывая, что векторное произведение сочетательно по отношению к скалярному множителю и дистрибутивно относительно сложения векторов.