2017-12-16
1555
Направляющие косинусы и длина вектора.
Скалярным произведением ненулевых векторов 
и 
называют число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними:
.
Если хотя бы один из векторов 
или 
нулевой, то угол φ не определен и скалярное произведение по определению полагают равным нулю.
По определению 
и 
.
Скалярное произведение 
называется скалярным квадратом 
и по определению 
т. е. = 
откуда следует 
.
Из определения следует, что для любых ненулевых векторов и и любого действительного числа μ справедливы соотношения:
1. 
· 
= · .
2. μ·( · )=(μ )· = ·(μ. ).
3. 
и, следовательно, ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пусть задан вектор 
. Если 
, 
, 
, то числа 
называют направляющими косинусами вектора 
и координаты вектора представляются в виде:
Тогда 
и после нормирования вектора получаем 
, т.е. направляющие косинусы вектора 
являются координатами его орта 
.
Если 
, то 
т.е. 
. Если в этой формуле орт 
0 заменить вектором 
, то приходим к понятию проекции вектора на вектор: 
, т.е 
.
Воспользуемся этой формулой и докажем линейность скалярного произведения:
Имеем:
что и требовалось доказать.
Пользуясь линейностью скалярного произведения, найдем его для векторов
= (а1, а2, а3) и 
= (b1, b2, b3)
Для этого сначала запишем координаты вектора 
в виде скалярных произведений: 
. Затем обе части разложения 
умножим скалярно на .
Получим: 
т.е. скалярное произведение векторов в координатной форме имеет вид: 
Из полученной формулы сразу же следует:
1. 
и 
2. Если 
и векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда 
.
3. 
, т.е. сумма квадратов направляющих косинусов одного направления (одного вектора) равна 1.
4. Если координаты векторов и 
пропорциональны, то векторы коллинеарны, т.к. в этом случае cos(
) = 
.
Задача 0.38. Используя понятие проекции вектора на вектор, найти длины отрезков, на которые высота BD, опущенная из вершины B (7; 0; 2), делит сторону AC треугольника ABC, если A(-3; 5; -6) и C(3; -4; 12).
Решение. По координатам точек найдем координаты векторов и вычислим 
.
Найдем проекции векторов 
и 
на вектор 
.
. 
.
Контроль: 
.
Ответ: 
, 
;
Задача 0.39. Радиус–вектор 
точки M составляет с осью y угол 
, с осью z угол 
, а его длина 8. Найдите координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.
Решение. Координаты вектора =(x, y, z) выразим через его модуль и направляющие косинусы: 
, 
, 
или 
, 
.
Т.к. сумма квадратов направляющих косинусов одного направления равна 1, т.е. 
, то 
, 
и т. к. 
, то 
. Следовательно, 
. Ответ: (-4; 4; 4 
).
Задача 0.40. Вычислить работу, произведенную силой 
, если точка ее приложения В(3;-2;-1) переместилась в С(4;-3; 3).
Решение. Найдем вектор перемещения точки приложения силы: 
. Тогда работа, произведенная силой 
, равна по определению скалярному произведению 
.
Ответ: 16 ед. работы.
Задача 0.41. Вектор 
перпендикулярен вектору 
. Скалярное произведение вектора 
и вектора 
равно 3. Известно, также что 
, где 
. Найдите координаты вектора и постройте его в прямоугольной декартовой системе координат.
Решение. Если 
, то 
или 
. Если 
, то 
. Если , то 
или 
.
В итоге решаем систему уравнений.
Следовательно, 
.
На осях x, у и z от начала координат откладываем векторы 
, 
и 
и на этих векторах строим параллелепипед, диагональ которого, исходящая из точки О, и является вектором 
. Ответ: 
.
