Пользуясь определением и свойствами векторного произведения, вычислим векторные произведения ортов координатных осей.
Полученной таблицей воспользуемся при вычислении векторного произведения двух произвольных векторов.
Если произведение окажется вектором , то площадь параллелограмма, построенного на векторах и с общим началом, вычисляется по формуле , а угол φ между векторами и можно найти из соотношения .
Воспользуемся выражением векторного произведения через координаты векторов для выяснения геометрического смысла определителя второго порядка.
Пусть на плоскости xy заданы векторы Эти же векторы в трехмерном пространстве можно представить в виде: Модуль их векторного произведения равен модулю определителя и равен площади параллелограмма, построенного на векторах
Понятие векторного произведения имеет свой источник и в механике. А именно, моментом силы , приложенной к точке М тела, относительно точки О приложения момента называется вектор , равный векторному произведению .
Задача 0.44. Вычислить площадь параллелограмма АВDС, если известны три его вершины А(-1; -2), В(1; 3) и С(4; 1).
Решение. Вычислим координаты векторов по координатам их концов. Получим: Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах равна модулю определителя , т.е. равна 19.
Ответ: 19 кв. ед.
Задача 0.45. В(3; –2; 4) – точка приложения силы . Найти момент силы относительно точки А(2; -1; 1).
Решение. Вычислим координаты вектора . Получим: = (1; -1; 3). Тогда моментом силы относительно точки А по определению является векторное произведение
=
Ответ: