2017-12-16
2293
Если вектор 
умножается векторно на вектор 
и полученный вектор 
умножается скалярно на вектор 
, то тем самым определяется число 
, называемое векторно–скалярным или смешанным произведением трех векторов , и , взятых в указанном порядке.
Геометрический смысл смешанного произведения выражается следующей теоремой.
Модуль смешанного произведения ненулевых и некомпланарных векторов с общим началом равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Доказательство. Три заданных вектора , 
и 
приведем к общему началу и на них построим параллелепипед.
Скалярное произведение векторов 
равно 
,
|
- орт вектора 
Но 
- площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и т.е. площадь основания параллелепипеда, а 
- высота параллелепипеда. Следовательно, 
SH – объем параллелепипеда.
Следствие 1. Если тройка векторов , , правая, то 
, если левая – то 
.
Действительно, если , , - правая тройка векторов, то угол φ между векторами 
и острый и cos φ > 0. Если же , , - левая тройка векторов, то угол α = π –φ между векторами и тупой и cos α < 0, а тогда 
Следствие 2. Т.к. , , и , , и , , - тройки одной ориентации, то при циклической перестановке векторов их смешанное произведение не изменяется: 
Следствие 3. Из коммутативности скалярного произведения 
и из 2-го следствия 
получаем 
, т.е. в смешанном произведении знаки скалярного и векторного умножения можно менять местами.
В силу следствия 3 смешанное произведение иногда обозначают символом 
.
Следствие 4. 
Теорема. Смешанное произведение векторов , , равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
Доказательство. Векторы полагаем ненулевыми. В противном случае, если хотя бы один из них нулевой, теорема очевидно верна.
Необходимость. По определению векторного произведения векторы и перпендикулярны вектору 
и если ( 
, то и вектор 
перпендикулярен вектору . Но если три вектора , и перпендикулярны вектору , то они компланарны.
Достаточность. Если векторы , и компланарны, то их можно расположить в одной плоскости a. Вектор перпендикулярен векторам 
а тогда он перпендикулярен и плоскости a и вектору , поэтому 
.
Смешанное произведение обладает свойством линейности относительно каждого своего множителя. Например, если полагать 
и воспользоваться линейностью скалярного произведения 
, то получим тождество
выражающее линейность смешанного произведения по третьему множителю. Аналогичные тождества справедливы и для первого и для второго множителей, т.к. 
Задача 0.46. Вектор перпендикулярен векторам 
. Зная, что
Решение. Модуль вектора () равен площади параллелограмма, построенного на векторах 
, т. е. числу 
Векторы и оба перпендикулярны векторам и , а потому коллинеарны и косинус угла φ между ними равен -1 либо 1.
Следовательно,
Ответ: Если тройка векторов , , правая, то 
если левая, то 
.
