Смешанное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл

Если вектор умножается векторно на вектор и полученный вектор умножается скалярно на вектор , то тем самым определяется число , называемое векторно–скалярным или смешанным произведением трех векторов , и , взятых в указанном порядке.

Геометрический смысл смешанного произведения выражается следующей теоремой.

Модуль смешанного произведения ненулевых и некомпланарных векторов с общим началом равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Доказательство. Три заданных вектора , и приведем к общему началу и на них построим параллелепипед.

Скалярное произведение векторов равно ,

Рис. 13

где - орт вектора Но - площадь параллелограмма, построенного на векторах и т.е. площадь основания параллелепипеда, а - высота параллелепипеда.

Следовательно, SH – объем параллелепипеда.

Следствие 1. Если тройка векторов , , правая, то , если левая – то .

Действительно, если , , - правая тройка векторов, то угол φ между векторами и острый и cos φ > 0. Если же , , - левая тройка векторов, то угол α = π –φ между векторами и тупой и cos α < 0, а тогда

Следствие 2. Т.к. , , и , , и , , - тройки одной ориентации, то при циклической перестановке векторов их смешанное произведение не изменяется:

Следствие 3. Из коммутативности скалярного произведения
и из 2-го следствия получаем , т.е. в смешанном произведении знаки скалярного и векторного умножения можно менять местами.

В силу следствия 3 смешанное произведение иногда обозначают символом .

Следствие 4.

Теорема. Смешанное произведение векторов , , равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство. Векторы полагаем ненулевыми. В противном случае, если хотя бы один из них нулевой, теорема очевидно верна.

Необходимость. По определению векторного произведения векторы и перпендикулярны вектору и если ( , то и вектор перпендикулярен вектору . Но если три вектора , и перпендикулярны вектору , то они компланарны.

Достаточность. Если векторы , и компланарны, то их можно расположить в одной плоскости a. Вектор перпендикулярен векторам а тогда он перпендикулярен и плоскости a и вектору , поэтому .

Смешанное произведение обладает свойством линейности относительно каждого своего множителя. Например, если полагать и воспользоваться линейностью скалярного произведения , то получим тождество

выражающее линейность смешанного произведения по третьему множителю. Аналогичные тождества справедливы и для первого и для второго множителей, т.к.

Задача 0.46. Вектор перпендикулярен векторам . Зная, что

Решение. Модуль вектора () равен площади параллелограмма, построенного на векторах , т. е. числу

Векторы и оба перпендикулярны векторам и , а потому коллинеарны и косинус угла φ между ними равен -1 либо 1.

Следовательно,

Ответ: Если тройка векторов , , правая, то если левая, то .