Использование данных о надежности банков для субъективной оценки уровня риска и байесовский подход к ее уточнению

Выше рассматривались приемы расчета объективной вероятности риска. Они были связаны с использованием либо вероятностных моделей, либо статистики банкротств и опирались на учетные данные.

Когда нет таких данных и получить объективную оценка уровня риска невозможно, приходится прибегать к субъективным его оценкам, основанным на интуиции и опыте экспертов. В экономике и бизнесе это приходится делать довольно часто. Как правило, в них встречаются такие события, для определения вероятности которых невозможно ни применить расчет, ни поставить опыт, что и заставило Дж. Кейнса ввести в оборот понятие субъективной вероятности.

При определении ее уровня эксперты привлекают на помощь отношение правдоподобия, называемое также принципом безразличия. Согласно ему, одинаково правдоподобные события или суждения должны иметь одинаковую вероятность, что математически записывается так: если А=В, то Р(А) = Р(В).

Более правдоподобное событие или суждение должно иметь большую вероятность: если А >В, то Р(А) > Р(В).

Отношение правдоподобия может позволить только очень грубую прикидку. Чтобы придать несколько большую количественную определенность субъективным оценкам вероятности, иной раз прибегают к помощи, например, табл. 1.2, которая, условно устанавливает связь между количественным аналогом и словесной оценкой событий.

Таблица 1.2

Словесная оценка события	Количественный аналог
Практически невозможное	Р<0.01
Очень маловероятное	Р<0.05
Более возможное, чем невозможное	Р>0.5
Очень вероятное	Р>0.95
Практически достоверное	Р>0.99

Известные уточнения в экспертную оценку субъективной вероятности можно внести с помощью формулы Байеса, позволяющей корректировать первоначально установленные вероятности риска на основе получения некоторой дополнительной информации. Применение формулы Байеса для этих целей будет рассмотрено ниже. Если используется концепция субъективной вероятности, то никаких проблем с употреблением этой формулы не возникает.

Для субъективной вероятности сохраняют силу все аксиомы классической теории вероятностей: вероятность случайного события А находится в пределах от нуля до единицы 0 £ Р(А) £ 1, вероятность невозможного события U равна нулю P(U) = 0.

Следует, однако, заметить, что событие, вероятность которого оказалась равной нулю, не обязательно является невозможным: вероятность достоверного события V равна единице – P(V)=1; вероятность полной группы событий всегда равна единице. Полной группой событий называется такая их совокупность, из которых одно обязательно должно произойти. Пример полной группы событий будет приведен ниже.

Для субъективной вероятности сохраняют силу не только аксиомы, но и все теоремы теории вероятностей. Так, теорема умножения вероятностей позволяет определять вероятность того, что произойдет и событие А, и событие В: Р(А и В) = Р(А) *Р(В). Теорема сложения событий позволяет определять вероятность того, что произойдет или событие А, или событие В: для несовместных событий – Р(А или В) = Р(А) + Р(В); для совместных событий (произойдет или событие А, или событие В, или оба вместе) – Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(А) * Р(В).

Пример 4. Эксперты определили надежность банка А на уровне 90%, а банка В – на уровне 80%. Следовательно, они считают, что банк А может оказаться банкротом с вероятностью в 10%, а банк В с вероятностью в 20%.

Согласно теореме умножения, вероятность того, что оба банка не станут банкротами, здесь будет равна Р(А и В) = Р(А) * Р(В) = 0.9 * 0.8 = 0.72.

Вероятность же того, что оба банка станут банкротами, составит Р( и )=0.1 0.2 = 0.02. Здесь и – события противоположные А и В.

Вероятность того, что банкротом станет только банк А, а банк В продолжит свою деятельность, будет равна

Р( и В)= 0.1 * 0.8 = 0.08.

Вероятность банкротства только банка В составит

Р(А и )| = 0.9-0.2-0.18.

Заметим, что вероятность одновременного банкротства сразу двух банков многократно меньше вероятности банкротства каждого из них в отдельности (0.02 против 0.10 или 0.20) Значит, если надо во что бы то ни стало избежать потери всех средств, следует помещать их не в один, пусть самый надежный банк, а в несколько банков. Это называется диверсификацией. Иной раз она может несколько снизить доход, зато повышает гарантию сохранности хотя бы части средств, т.е. помогает инвесторам избежать при рискованных инвестициях полного финансового краха.

Как уже отмечалось, теорема сложения вероятностей позволяет определять вероятность наступления или события А, или события В. Согласно ей, вероятность банкротства только одного какого-нибудь банка (или банка А, или банка В) будет равна

Р( В или А ) = Р( В) + Р(А ) = 0,08 + 0,18 = 0,26.

От понятия наступление только одного банкротства надо отличать понятие наступление хотя бы одного банкротства. Вероятность последнего (или банка А, или банка В, или сразу двух) составит по формуле суммы вероятностей для совместных событий

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) * Р(В) =0.1 + 0.2 - 0.02 = 0.28.

Этот же результат можно также получить, суммируя ранее найденные вероятности банкротства только одного какого-нибудь банка и банкротства сразу двух банков: 0.26 + 0.02 = 0.28. Наконец, ту же самую цифру можно получить как вероятность события, противоположного отсутствию всяких банкротств: 1 - 0.72 = 0.28.

Полную группу событий в данном примере составляет следующий перечень событий: полное отсутствие банкротств, банкротство только одного банка, банкротство сразу двух банков.

Сумма их вероятностей равна единице: 0.72 + 0.26 + 0.02 = 1.

Пример 5. Эксперты установили, что вероятность банкротства банка (фирмы, компании) в течение предстоящего года составляет 10%. Чему равна вероятность того, что банкротство этого банка произойдет в течение трех ближайших лет? в течение одного квартала?

Решение:

Правильный ответ на первый вопрос нельзя получить простым суммированием вероятностей банкротств за три года. Для правильного ответа надо использовать теорему умножения вероятностей.

Вероятность того, что банк в течение трех лет не стане банкротом (будет благополучным и в первом, и во втором, и третьем году), равна по теореме умножения вероятностей 0.9 * 0.9 × 0.9 = 0.729. Отсюда вероятность того, что он потерпят крах в течение трех ближайших лет, составит 1 - 0.729 = 0.271 или 27.1%. Складывать уровни риска банкротства здесь нельзя по той же причине, по которой нельзя суммированием получить общее за три года снижение себестоимости, если ее ежегодное снижение равно 10%. Себестоимость за три года снизится, если правильно считать, не на 30%, а на 27.1%.

Уровень банкротства банка в течение части года, например квартала, подсчитывается так:

1 - = 1 - 0,074 = 0,026или 2,6%, но не 10%:4=2,5%. Уровень банкротства банка в течение только одного месяца получают следующим образом:

1 - = 1-0,991 = 0,009 или 0,9%, но не 10%: 12 = 0.83%.

Пример 6. У банка имеются 10 должников. Вероятность невозврата каждым из них своего долга оценена экспертами банка на уровне 10%. Чему равна вероятность того, что не погасят свой долг не менее 3 должников, т.е. не вернут долг 1, 2 или3 должника из 10 должников банка?

Решение:

Здесь тоже можно воспользоваться теоремами сложения умножения вероятностей, но решение получится несколько громоздким. В последнем случае лучше применить формулу Бернулли:

где P _n(m) — вероятность наступления события m раз в п испытаниях,

р - вероятность наступления события в единичном испытании,

q - вероятность противоположного события,

- число сочетаний из n элементов по m.

Число сочетаний в свою очередь подсчитывается по формуле

В нашем примере р = 0.1, q =0.9 и п =10.

Найдем вероятности того, что не погасят свой долг 1, 2 и 3 должника из 10.

,

,

.

Если бы вероятность невозврата долга была равна не 10%, а всего 1%, т.е. была бы редким событием, то расчеты надо было бы делать с помощью формулы Пуассона, где е = 2.718.

Расчеты в последнем случае выглядели бы так:

,

,

.

а всего - 0.095158, т. е. приблизительно 9.5%.

6.5. Пример. Моделирование финансовых рисков бизнес-планов с учетом дополнительной информации

Создание фирмы, как и начало любого делового предприятия, влечет за собой определенный риск, который связан с неопределенностью будущего. При составлении бизнес-плана неизбежно использование прогнозных оценок, которые касаются объема продаж, степени заинтересованности потребителей в ваших продуктах и услугах, будущей доли рынка, а говоря о более весомых вещах, делаются определенные предположения о развитии отрасли и даже страны. Все основания для прогнозных оценок должны быть четко обозначены в бизнес-плане. Отдельным пунктом в бизнес-плане должен проходить расчет финансовых рисков.

Рассмотрим применение моделирования финансовых рисков при дальнейшем развитии автосалона ООО «Автодвор».

Одно из направлений развития автосалона – это расширение своего присутствия в автомобильном бизнесе г. Уфа путем создания дилерского центра по народной иностранной автомобильной марке. И занять долю рынка продаж в Уфе до 25%. Основой проекта, расширение своего присутствия в автомобильном бизнесе г. Уфа, является привлечение новой иностранной торговой марки. На данном этапе ведутся переговоры с 3 дистрибьюторами – это:

1. ОАО «Северстальавто» - официальным дистрибьютором марки ФИАТ в России.

2. GM официальным дистрибьютором автомобилей марки Шевролет, Опель, Сааб, Кадиллак и Хамер в России.

3. Группа компаний ИРИТО официальным дистрибьютором китайских автомобилей в Росси.

Марка ФИАТ на Российском рынке имеет негативный имидж, так как до 2006 года была представлена несколькими небольшими дистрибьюторами, которые вообще не развивали дилерскую сеть по России, были только представлены в Москве. Не проводили маркетинговых исследований и широкомасштабных рекламных компаний. В 2005 году продажа этих автомобилей по России составило всего 186штук. После 2006 года официальным эксклюзивным дистрибьютором по марке ФИАТ был представлен крупной компании ОАО «Северстальавто». По итогам продаж за 2006 год продажи марки ФИАТ составило около 2000 автомобилей. Эти автомобили находятся в ценовом диапазоне от 16000 долларов. На Российском рынке наиболее востребованы автомобили в ценовом диапазоне от 10000 долларов до 17000 долларов. ОАО «Северстальавто» приходится работать в условиях жесткой конкуренции, ее новые товары могут быть, а могут и не быть конкурентоспособными на рынке, и поэтому объемы продаж и прибыли точно предсказать по этим автомобилям чрезвычайно трудно.

Китайские автомобили на Российском рынке имеют также негативный имидж. Этот имидж сложился в большей части из-за того, что на эти автомобили отсутствуют запасные части и плохо развита сервисная сеть. Ценовой диапазон представлен от 8000 долларов до 15000 долларов. Группе компаний ИРИТО приходится работать также в условиях жесткой конкуренции, ее новые товары могут быть, а могут и не быть конкурентоспособными на рынке, и поэтому объемы продаж и прибыли точно предсказать по этим автомобилям чрезвычайно трудно.

GM официальный дистрибьютор в России представляет несколько марок – это Шевролет, Сааб, Кадиллак, Хамер. General Motors активно проводит широкомасштабные рекламные компании, хорошо развито поставка запасных частей. Преимущество данного дистрибьютора является то, что он представляет несколько торговых марок, от народного до автомобилей премиум класса. Ценовой диапазон представленных автомобилей в России составляет от 9000 долларов до 100000 долларов.

Фирма решает вопрос с каким поставщиком из 3 представленных будет работать наиболее выгодно, о сроках перехода к массовому предложению новых марок. Но тут излишняя торопливость может привести к тому, что предложенная марка не будет пользоваться спросом. Все это в конечном итоге может привести к убыткам. Но медлить тоже нежелательно, ибо инициативу могут перехватить конкуренты, и тогда часть ожидаемой прибыли будет упущена.

Возможные последствия перехода к новым маркам при разной, реакции на нее рынка приведены ниже в таблице выплат (табл. 2).

Таблица 2

Возможные последствия перехода к новым маркам при разной реакции на нее рынка

Вариант решения о переходе к новым маркам	Выплаты (тыс. руб .) при возможных сроках наступления массового спроса и их вероятностях
Ограниченный спрос (0,2)	Средний спрос (0,5)	Высокий спрос (0,3)
ФИАТ
GM
Группа компаний ИРИТО

Необходимо определить с каким поставщиком из 3 следует заключить соглашение и какой срок перехода к массовому предложению марок надо считать оптимальным.

Для каждого варианта решения , т.е. для каждой строки находим математическое ожидание выплаты:

М(Q ₁) = 0 * 0,2 + 6 * 0,5 + 12*0,3 = 6,6;

М(Q₂)= 5 * 0,2 + 7 * 0,5 + 9 * 0,3 = 7,2;

М(Q₃) = 1*0,2 + 5 * 0,5 + 12 * 0,3 = 5,7;

Максимальным из них является математическое ожидание второй строки, что соответствует решению начать сотрудничество с компанией General Motors.

Выбор оптимального решения здесь затруднен отсутствием сведений о вероятностях той или иной реакции рынка, т.е. мы находимся в условиях полной неопределенности.

В этом случае следует использовать правило Вильда или правило Сэвиджа.

Матрица последствий имеет вид

.

Тогда матрица рисков равна

.

Величины равны 0; 5; 1, поэтому по правилу Вальда наилучшим решением является второе, т.е. правило предписывает перейти к сотрудничеству с General Motors.

Для расчета по правилу Сэвиджа найдем величины , они равны 5; 3; 4. Наименьшее из этих величин соответствует второму решению. Т.е. правило Сэвиджа предписывает то же решение, что и правило Вальда.

Кроме того, по мнению руководства фирмы «Автодвор», существует 70%-ная вероятность того, что фирма «Уфа Автоваз», являющаяся наиболее опасным конкурентом, собирается предложить совершенно новые марки по более низкой цене (гипотеза Н₁), что может отрицательно сказаться на интересах фирмы «Автодвор»: спрос на ее продукцию резко упадет, вследствие чего ее убытки составят 200 тыс. руб.

Избежать потерь от падения спроса на свои машины фирма «Автодвор» может только переходом на предложение новых марок по такой же цене, что снизит прибыль на 100 тыс. руб. Если фирма «Уфа Автоваз» не решится снизить цену, эти деньги можно будет считать потерянными фирмой «Автодвор» впустую.

Чтобы не делать излишних затрат, фирма «Автодвор» должна собрать дополнительную информацию о намерениях своего конкурента и на этой основе либо принять, либо отвергнутьвышесказанное предположение о возможных действиях фирмы-конкурента. Эксперты оценили, что вероятность того, что фирма «Уфа Автоваз» намерено понизит цену равна 0,7. Поступили сведения о том, что фирма «Уфа Автоваз» приобретает большую партию машин (событие А), что может быть связано с предложением большого количества машин по более низкой цене (событие A/H₁), но может быть также вызвано простым желанием расширить ассортимент предлагаемых машин, нe снижая цены (событие А/Н₂). Вероятности того и другого эксперты фирмы «Автодвор» определили на следующем уровне: Р(А/Н₁) = 0,9, Р(А/Н₂) = 0,2.

Заметим, что сумма этих двух вероятностей не должна обязательно равняться единице. Единице должна быть равна сумма событий типа A/H₁ и /H₁ или А/Н₂ и /Н₂.

Принять решение руководству ООО «Автодвор» можно с помощью формулы Байеса следующего вида:

,

Величина Р(А), стоящая в знаменателе формулы, есть полная вероятность приобретения фирмой «Уфа Автоваз» новых машин для всех целей, а не только для перехода на более низкие цены. Эта полная вероятность рассчитывается по формуле:

Р(А) = Р(А/Н_i)* Р(Н₁) + Р(А/Н₂) * Р(Н₂) = 0,9 * 0,7 + 0,2 * 0,3 = 0.69.

Отсюда уточненная с помощью дополнительной информации вероятность перехода фирмы «Уфа Автоваз» на более низкие цены равна:

P(H₁/A)=0,9 * 0,7/0,69=0,913.

В планах ООО «Автодвор» также присутствует намерение осуществлять реализации машин юридическим лицам. Поэтому, актуальными являются финансовые риски, связанные с реализацией машин.

Так, в ситуации, если покупатель просит ООО «Автодвор» отпустить машину без предоплаты, т.е. в долг, необходимо определять вероятность того, что фирма получит оплату отпущенной машины вовремя и не понесет потерь. При этом известно, что продолжительное время коэффициент текущей ликвидности (КТЛ) покупателя находился на среднем уровне, равном 1.8.

Для оценки вероятности возврата долга можно использовать лишь лемму Маркова (см. раздел 6.3) либо попытаться оценить упомянутую вероятность чисто субъективно. Первый вариант на вопрос о вероятности возврата долга дает такой ответ:

,

т.е. вероятность возврата долга менее 90%, а потерь как минимум 10%. При таком риске потерь следует заключать сделку только в том случае, если она принесет прибыль более

.

В качестве величины a здесь был взят тот порог КТЛ > 2, который отделяет платежеспособные предприятия от неплатежеспособных.

Литература

Основная

1. Финансовая математика (математическое моделирование финансового рынка) / Под ред. В.А. Половникова, А.И. Пилипенко (в печати).

2. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие / А.М. Дубов, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Бариновская. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 224 с.

3. Мельников А.В. Риск-менеджмент: Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страхования. – М.: Анкил, 2001. – 112 с.

4. Рогов М.А. Риск-менеджмент. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 120 с.

5. Грачева М.В. Анализ проектных рисков. – М.: Финстатинформ, 1999. – 216 с.

6. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. – М.: 2000.

Дополнительная

1. Ковалев В.В. Методы оценки инвестиционных проектов. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 144 с.

2. Глазунов В.Н. Финансовый анализ и оценка риска реальных инвестиций. – М.: Финстатинформ, 1997. – 135 с.

3. Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. – М.: Дело, 1998. – 256 с.

4. Риск-анализ инвестиционного проекта / Под ред. М.В. Грачевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 351 с.

5. Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент. – Спб.: Экономическая школа, 1997. – Т.1. – 497 с.

6. Сио К.К. Управленческая экономика. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 671 с.

7. Маршалл Джон Ф., Бансал Випул К. Финансовая инженерия. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 784 с.

8. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения: Уч. пособие. – М.: Дело и сервис. 1999.

9. Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. – М.: Едиториал УРСС. 2004.

10. Бублик Н.Д., Голичев И.И., Горбатков С.А. Стохастическая оптимизация риска как ресурса в экономических системах. – Из. Баш. гос.ун-та Уфа 2000.