Основные правила дифференцирования функций

Если функции u = u (x) и v = v (x) имеют производную в точке х, то в этой точке имеют производную функции u + v, Cu (где С – некоторое число), uv и функция (при условии, что v ¹0 в точке х). Имеют место следующие правила для их вычисления (правила дифференцирования).

Правило 1. Производная константы равна нулю.

Правило 2. Производная суммы равна сумме производных.

.

Правило 3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

.

Правило 4. Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первого множителя на второй и производной второго множителя на первый.

.

Правило 5. Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя к квадрату знаменателя.

, v (х)¹0.

Данные правила следуют из определения производной. Приведем, например, доказательство правила 2, то есть докажем, что .

Рассмотрим функцию f (x)= u (x)+ v (x). Приращение х аргумента в точке х равно Dх = х₁ – х.

Тогда f (x+ x) =u (x+ x)+ v (x+ x).

Приращение функции y=f (x+ x)– f (x) = (u (x+ x)+ v (x+ x))–

–(u (x)+ v (x))=(u (x+ x)– u (x))+(v (x+ x)– v (x))= u + v.

Отсюда и

.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. dC = 0, C – число.

2. d (Cy) = Cdy.

3. d (u+v) = du+dv.

4. d (uv) = vdu+udv.

5. , v (х)¹0.

Пример 3.2.3. Найти , , , , , , если u =2 x ³, v = e^x.

○

;

;

;

;

;

= .●