Интервалы выпуклости. Точки перегиба

В целом ряде практически важных случаев анализа деталей процессов необходимо более подробно описывать поведение функции у=f (x).

Назовем функцию выпуклой вверх (или просто выпуклой) на интервале , если значения функции на этом интервале находятся выше отрезка, соединяющего точки (а; ) и (b; ) и выпуклой вниз (или вогнутой), если ее значения находятся ниже такого отрезка. Точку с, в которой выпуклость сменяется вогнутостью (или наоборот) назовем точкой перегиба графика функции .

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба определяются и анализируются с помощью второй производной по следующим правилам:

1. Если значения второй производной на интервале отрицательны, то функция выпуклая на этом интервале.

2. Если значения второй производной на интервале положительны, то функция вогнутая на этом интервале.

3. Необходимым условием для точки перегиба является то, что в ней вторая производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует. Если при переходе через эту точку меняет знак, то это - достаточное условие перегиба.

Таким образом, для исследования функции на изгибы и точки перегиба, можно использовать следующую схему:

1. Определяем производную .

2. Находим стационарные точки из анализа области определения второй производной и решения уравнения .

3. Определяем знаки второй производной в интервалах между вычисленными точками и устанавливаем наличие точек перегиба и типы изгиба функции.

Асимптоты функции

Важной характеристикой графика функции являются асимптоты. Это – прямые, к которым приближается (стремится) график функции. Существуют три вида асимптот, которые поясним рисунком (рис. 3.25).

Приведем технику определения асимптот.

1. Прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции f (x), если хотя бы один из односторонних пределов этой функции или равен –∞ или +∞. На практике вертикальные асимптоты находятся из анализа области определения функции . Например, не определена в точке х =2, причем , , следовательно, х =2 и есть вертикальная асимптота. Если функция определена и непрерывна на R, то она не имеет вертикальных асимптот. Подчеркнем, что если функция определена, но не непрерывна, то она может иметь вертикальные асимптоты, например, функция имеет вертикальные асимптоты.

2. Если существует предел или (или оба вместе), то уравнения у= b или (и) у=с определяют горизонтальные асимптоты.

3. Если существуют конечные пределы и , причем оба одновременно, то прямая у=аx+b является наклонной асимптотой графика функции .