Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть у=f (x) является дифференцируемой в каждой точке интервала (a; b). Тогда в каждой точке этого интервала существует функция – производная от данной (ее называют также первой производной или производной первого порядка функции f (x)). Может случиться, что она так же имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f (x) и обозначается следующим образом:

Подобным образом определяются третья, четвертая и все последующие производные:

Определение 3.3.1. Производная от производной порядка n –1 называется производной порядка n и обозначается

Аналогично вводится понятие дифференциала n-го порядка.

Определение 3.3.2. Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка и обозначается:

Говорят: дифференциал n -го порядка равен произведению производной n -го порядка на n -ную степень дифференциала независимой переменной.

Отсюда имеем: .

Пример 3.3.1. Для у=sinx получим

и так далее;

, , и так далее.

Приложения производной

3.4.1. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Рассмотрим непрерывную кривую Г – график непрерывной на заданном интервале функции у=f (x) (рис. 3.17). Пусть М(х; у) – лежащая на ней точка и М₁(), – другая, лежащая на Г точка. Прямую S, проходящую через М и М₁ называют секущей (кривой Г). Если теперь точку М₁ двигать непрерывно по Г, неограниченно приближая к М, тогда секущая S будет вращаться относительно М. Может случиться, что при этом S будет стремиться занять в пределе положение вполне определенной (проходящей через М) прямой. В этом случае говорят, что кривая Г имеет в точке M касательную (на рис. 3.17 – прямая Т). Уравнение касательной к графику функции f (x) в точке М₀(х ₀; у ₀) имеет вид:

Секущая S, проходящая через точки М и М₁, образует с положительным направлением оси О х угол (рис. 3.17), тангенс которого ( – отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике ).

Из того, что угол между секущей и касательной при стремлении точки М₁к точке М, т.е. при уменьшении х до нуля, стремится к нулю, вытекает, что угол перейдет в угол a наклона касательной к оси О х (рис. 3.17). Тогда получаем

Следовательно, производная функции в точке равна – угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Подчеркнем, что в уравнении касательной к графику функции f (x) в точке М₀(х ₀; у ₀) также – производная функции в этой точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке М₀(х ₀; у ₀).

Подчеркнем, что уравнение нормали к графику функции f (x) в точке М₀(х ₀; у ₀) имеет вид:

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциалом функции у=f (х) первого порядка называется главная, линейная относительно приращения , часть приращения функции , равная произведению производной этой функции на приращение аргумента х, обозначаемое в этом случае, как dx:

dy = = tga dx

Физический смысл производной.

Пусть точка движется прямолинейно по закону s = f (t).

Средняя скорость точки за промежуток времени от t до равна отношению пути , пройденного за этот промежуток времени ко времени движения :

Тогда число v, к которому стремиться средняя скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s = f (t), на промежутке времени [ t, ] при , есть ее скорость или мгновенная скорость в момент времени t:

Физический смысл второй производной.

Рассматривая производную скорости по времени t, получим скорость изменения скорости, то есть ускорение.

Таким образом, вторая производная от пути по времени есть ускорение а прямолинейно движущейся точки в момент времени t: .

3.4.2. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения

Теорема 3.4.1. Если функция f (х) дифференцируема в точке х ₀, то она непрерывна в этой точке.

Утверждение, обратное теореме 3.4.1., вообще говоря, неверно – существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в ней. Рассмотрим пример.

Пример 3.4.1. Хорошо известно, что функция | x | непрерывна при всех значениях x (см. пример 3.1.7.). Докажем, что она не является дифференцируемой при х =0.

○Так как f (x)=| х |, f (x +Δ х)=| х +Δ х |, то Δ f =| х +Δ х |–| х | и при х =0 имеем Δ f =|Δ х |. Поэтому

Так как пределы и различны, то не существует предела , и потому функция | х | не является дифференцируемой в точке х =0.

Наглядный смысл того, что функция | х | не имеет производной в точке х =0, состоит в том, что график этой функции имеет излом в начале координат (рис. 3.19). Геометрический смысл недифференцируемости функции | х | в точке х =0 – неопределенность касательной к ее графику в этой точке: множество прямых, проходящих через точку О(0; 0), имеют единственную общую точку с графиком данной функции, и, значит, каждая из них является касательной.●

Теорема 3.4.2. (Теорема Ферма). Если функция у = f (х), определенная на интервале (a; b), достигает в некоторой точке с этого интервала наибольшего (или наименьшего) значения и существует производная f¢ (с), то f¢ (с)=0.

Геометрический смысл заключения теоремы состоит в том, что касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой с параллельна оси Ox.

Теорема 3.4.3. (Теорема Ролля). Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ a; b ], имеет производную на интервале (a; b) и принимает равные значения на концах отрезка [ a; b ] (f (a)= f (b)). Тогда на интервале (a; b) всегда найдется такая точка с, что в ней производная от f (х) равна нулю:

Эта теорема, по существу утверждает, что при некоторых дополнительных условиях между двумя «нулями» функции всегда лежит «нуль» ее производной.

На рисунке 3.20 изображены графики функций, удовлетворяющих условию теоремы Ролля. У первой функции имеется одна точка из интервала (a; b), в которой ее производная равна нулю (), у второй имеются две такие точки с ₁ и с ₂ ().

Прозрачен геометрический смысл теоремы Роля: если функция имеет равные значения на концах отрезка и дифференцируема на соответствующем интервале, то найдется точка с этого интервала, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема 3.4.4. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [ a; b ] и имеет производную на интервале (a; b). Тогда на интервале (a; b) найдется точка с такая, что в ней производная от f (х) удовлетворяет равенству

или, что то же самое, равенству

Теорема Лагранжа имеет следующий геометрический смысл.

Левая часть первого равенства из теоремы 3.4.4. представляет собой тангенс угла наклона к оси О х хорды, стягивающей точки (a; f (a)) и (b; f (b)) графика функции у = f (х), а правая часть – тангенс угла наклона касательной к графику в некоторой точке с, принадлежащей (a; b).

Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на [ a; b ] функции, имеющей производную на (a; b), то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе с (a < c < b), такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (a; f (a)) и (b; f (b)) (рис. 3.21).

Лемма 3.4.1. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [ a; b ], то ее производная равна нулю во всех внутренних точках отрезка тогда и только тогда, когда функция у = f (х) постоянна на этом отрезке.

Правило Лопиталя

Теорема 3.4.4. (Правило Лопиталя). Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида отношения или , а также приводимых к ним и некоторых других. Для этого отношение функций заменяется отношением их производных до тех пор, пока неопределенность не исчезнет:

Примечание. При отсутствии неопределенности вида или правило Лопиталя применять нельзя.

Пример 3.4.2. Вычислим .

○Здесь имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, можем записать:

.●

Неопределенности вида или приводятся к виду или . Обычно это достигается с помощью элементарных преобразований заданного выражения.

Так для раскрытия неопределенностей вида используют следующий прием. От произведения f (x) g (x), где , легко перейти к дробям (получим неопределенность вида ) или (неопределенность вида ) и использовать правило Лопиталя обычным образом.

Пример 3.4.3. Вычислим .

○Здесь имеем неопределенность вида . Чтобы свести ее к виду , представим произведение в виде дроби:

= .●

Пример 3.4.4. Вычислим .

○

.●

Рассмотрим способ раскрытия неопределенности вида и т.п.

Функции вида удобно сначала прологарифмировать. Если у = , то . Полученное произведение приводим к отношению или , после чего для вычисления соответствующего предела можно применять правило Лопиталя. В итоге получим , где А – некоторое число, откуда, потенцируя, будем иметь .