Интервалы монотонности и экстремумы функции

Интервалы монотонности

Поясним наглядную сущность процесса изменения функции.

Из геометрии известно, что для острого угла >0, для тупого <0. Так как производная , то на участке 1-2 (рис. 3.22), где >0, функция возрастает, а на участке 2-3, где <0, функция убывает.

Таким образом, справедлива важная теорема.

Теорема 3.4.5. Если производная функции положительна в пределах интервала, то функция у=f (х) на этом интервале возрастает, если производная отрицательна, то функция на интервале убывает.

Особое значение имеет точка 2 (рис. 3.22), в которой касательная параллельна оси О х и Такие точки называются стационарными и часто характеризуют момент смены возрастания на убывание и наоборот. Этих точек может быть и несколько.

Экстремумы функции

Среди стационарных точек выделим экстремальные: функция имеет максимум (минимум) в точке х=а, если в некоторой окрестности этой точки всем значениям х соответствуют меньшие (большие), чем .

На рис. 3.22 точка 2 является точкой экстремума, в данном случае – максимума.

Необходимое условие экстремума: если функция имеет экстремум в точке х=а, то в этой точке ее производная либо равна 0, либо бесконечна, либо не существует.

Примечание. Необходимое условие экстремума не гарантирует наличие (присутствие) экстремума. Кроме того, оно не дает ответа о типе экстремума – минимуме или максимуме. И, наконец, оно может соблюдаться и не в экстремальных точках, что и показано на рисунке 3.23.

Таким образом, чтобы установить наличие экстремума и определить его тип, следует сформулировать достаточные условия. На практике используют два основных условия:

Первое достаточное условие экстремума: если в стационарной точке х=а производная меняет свой знак с плюса на минус (с возрастания на убывание), то функция у= в этой точке имеет максимум, если с минуса на плюс, то функция имеет минимум.

Первое достаточное условие обычно используют в случаях, когда производная имеет громоздкий вид. Если же вторая производная вычисляется достаточно просто, то удобно использовать следующее условие.

Второе достаточное условие экстремума: если в стационарной точке х=а вторая производная положительна, то функция в этой точке имеет минимум, если же отрицательна, то функция имеет максимум.