Производная и дифференциал

3.2.1. Понятие производной. Производные основных элементарных функций

Изучая поведение функции у=f (x) около конкретной точки x ₀ (рис. 3.16), важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x ₀ и пусть х ₁ – произвольная точка этой окрестности.

Определение 3.2.1. Приращением аргумента при переходе от точки x ₀ к точке x ₁называют число Dх = х ₁– x ₀, а разность D у=f (x ₁) –f (x ₀) называют приращением функции при этом переходе.

Для приращения функции также применяют обозначение D f.

Поскольку х ₁– x ₀= Dх, то х ₁= x ₀+ Dх. Тогда

D у=f (x ₀+ Dх) –f (x ₀).

Определение 3.2.2. Если существует предел отношения приращения функции Δ у к вызвавшему его приращению аргумента Δ х, когда Δ х стремится к нулю, то этот предел называется производной функции у = f (х) в данной точке x ₀и обозначается через :

.

Подчеркнем, что производная функции y – это новая функция, определенная во всех точках х, в которых существует .

Производную функции также обозначают или .

Для нахождения производной функции y=f (x) по определению 3.2.2. необходимо:

-придать аргументу х приращение х;

-найти значение функции в точке x ₀ + x, т.е. найти f (x ₀ + x);

-найти приращение функции: D у=f (x ₀+ Dх) –f (x ₀);

-составить отношение ;

-вычислить предел .

Пример 3.2.1. Найти производную функции y=f (x) =x².

○Рассмотрим приращение х аргумента в точке х: Dх = х ₁– х.

Тогда f (x+ x) = (x+ x) ²=x²+2x x+ ( x) ².

Приращение функции

y=f (x+ x)– f (x) =x²+2x x+ ( x) ² – x² = 2x x+ ( x) ².

Отсюда и

.●

Отметим, что если существует предел справа (или предел слева ), то он называется правой (или левой) производной функции f (х) в точке х ₀.

Действие нахождения производной функции называется ее дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. При этом, если промежуток от а до b есть отрезок [ a; b ], то в точке а речь идет о правой производной, а в точке b – о левой производной.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций:

	у=С	, С - постоянная (число)
	у=xa	, a R, х >0
	Отсюда:
	у=x
	y=
	у= sin x
	у= cos x
	у=tg x	, , k Z
	у=ctg x	, , k Z
	у=ax	ax ln a, а >0
	у=ex	ex
	у= log ax	, a >0, a ¹1, x >0
	у= ln x	, x >0
	у= arcsin x	, x (–1, 1)
	y= arccos x	, x (–1, 1)
	у= arctg x
	у= arcctg x