Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

(4.3.26)

,

где p и q – данные постоянные числа, f(x) (правая часть уравнения) – известная функция от x. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.3.2. Общее решение неоднородного уравнения (4.3.26) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(4.3.27)

и частного решения данного неоднородного уравнения.

Для нахождения частного решения уравнения (4.3.26) обычно применяется так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Случай 1. Правая часть уравнения (4.3.26) есть показательная функция

.

Ищем частное решение z также в форме показательной функции

(4.3.28)

,

где А – неопределенный коэффициент. Отсюда

и .

Подставляя f(x) и выражения для z и его производных в уравнение (4.3.26), после сокращения на будем иметь

(4.3.29)

.

Возможны два случая:

1) m не является корнем характеристического уравнения, т.е.

.

Тогда и, следовательно,

;

2)

(4.3.30)

число m есть корень характеристического уравнения, т.е.

.

Тогда уравнение (4.3.29) противоречиво и, следовательно, дифференциальное уравнение (4.3.26) не имеет частного решения в форме (4.3.28).

В этом случае:

а) если m есть простой корень характеристического уравнения (т.е. другой корень этого уравнения отличен от m), то частное решение уравнения (4.3.26) следует брать в виде

;

б) если же m – кратный корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (4.3.26) нужно искать в виде

Пример 4.3.5. Пусть .

Решим сначала уравнение без правой части:

.

Характеристическое уравнение здесь имеет вид . Отсюда корни его будут , . Следовательно, общее решение уравнения без правой части таково:

.

Так как m =1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в следующей форме:

,

где А – неопределенный коэффициент. Дифференцируя будем иметь

, .

Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получаем

или .

Отсюда . Итак, частное решение уравнения с правой частью есть

.

Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей теоремы имеет вид

.

(4.3.31)

Случай 2. Правая часть уравнения (4.3.26) есть тригонометрический полином

.

Ищем частное решение z этого уравнения также в форме тригонометрического полинома

,

где А и В – неопределенные коэффициенты.

Дифференцируя, получим

и .

Отсюда, подставляя эти выражения в уравнение (4.3.26) и собирая вместе члены с и , будем иметь

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Получим

, .

Из этой системы, вообще говоря, мы и сможем определить коэффициенты А и В. Единственный случай, когда система несовместна, это

.

Тогда частное решение z следует брать в такой форме:

.

Пример 4.3.6. Пусть

(4.3.32)

(4.3.33)

Соответствующее однородное уравнение будет иметь вид:

Решая характеристическое уравнение , находим кратный корень .

Следовательно, общее решение однородного уравнения (4.3.33) есть

.

Будем искать частное решение уравнения (4.3.32) в форме

,

где А и В – неопределенные коэффициенты.

Дифференцируя, получаем

, .

Подставляя , , в уравнение (4.3.32), будем иметь

.

Приравнивая коэффициенты при и справа и слева, получим систему

решая которую, получим и, следовательно,

.

Отсюда общее решение уравнения (4.3.32) будет иметь вид

.

Случай 3. Правая часть линейного уравнения (4.3.26) представляет собой полином, например, второй степени

(4.3.34)

.

Ищем частное решение z этого уравнения также в форме полинома второй степени

где А, В, С – неопределенные коэффициенты.

Дифференцируя, будем иметь

и .

Отсюда, подставляя , , в уравнение (4.3.26), получаем

,

или

.

Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной х равны, то для определения коэффициентов А, В и С имеем систему

(4.3.35)

Если , то из этой системы для коэффициентов А, В, С получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение z будет вполне определено.

Если же (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система (4.3.35) несовместна. В этом случае, полагая, что , частное решение z следует искать в форме

.

Аналогично нужно поступать, если f (x) есть полином какой-нибудь другой степени.

Пример 4.3.7. Найти решение уравнения

(4.3.36)

,

такое, что

(4.3.37)

.

 

Однородное уравнение здесь следующее:

.

Характеристическое уравнение имеет корни , . Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

,

где и – постоянные.

Для нахождения частного решения z неоднородного уравнения (4.3.36) полагаем

.

Подставляя эту функцию в уравнение (4.3.36), будем иметь

.

Отсюда

следовательно, А =–1, В =0, С =–2 и .

Общее решение неоднородного уравнения (4.3.36) имеет вид

(4.3.38)

.

Дифференцируя, находим

(4.3.39)

.

Полагая х =0 в формулах (4.3.38) и (4.3.39) и используя начальные условия (4.3.37) получаем систему

Таким образом, .

Подставляя эти значения в формулу (4.3.38), получаем искомое решение

.

 

[1] Уравнение (4.3.11) можно также рассматривать как линейное

[2] Познакомиться с решением уравнения (4.3.17) в случае 3 можно, например, в книге: Краткий курс высшей математики / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2003. – С. 480.