Сложение двух гармонических колебаний одного направления одинаковой частоты

 

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, которые происходят с некоторой разностью фаз и имеют разные амплитуды. Смещение x₁ от положения равновесия колеблющегося тела будет равно сумме смещений x₁ и x₂:

 

= ,

, (15)

 

Построим векторные диаграммы колебаний (15).

 

 

С

₁

О

X₂ x

X₁

X

 

Рисунок 2 – Сложение колебаний и с помощью векторного метода

 

Поскольку вектор в начальный момент времени располагается под углом к оси x, а вектор – под углом , то в результате сложения оба вектора будут вращаться против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью . Получаем, что угол между векторами и все время остается постоянным и равным

По правилам сложения векторов построим суммарный вектор . Вектор представляет суммарное колебание. Он вращается с той же угловой скоростью , что и векторы и . Проекция этого вектора на ось X равна сумме проекций слагаемых векторов: x= х₁+х₂.

Приходим к выводу, что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ω₀, амплитудой A и начальной фазой α.

 

. (16)

 

Выразим с уравнения (16) амплитуду А

 

(17)

 

Амплитуда A результирующего колебания зависит от разности начальных фаз α₀₂−α₀₁ слагаемых колебаний. Получаем, что разность α₀₂−α₀₁ с течением времени не изменяется (такие синхронные колебания называются когерентными), по формуле (17) можно получить значения амплитуды A. Поскольку косинус любого угла не может быть больше +1 и меньше –1,то возможные значения амплитуды заключены в пределах:

A₁+A₂≥ A ≥ ǀA₂−A₁ ǀ.