Представление гармонических колебаний в комплексном виде

 

Основой для комплексного представления колебаний служит формула Эйлера

(12)

где = – мнимая единица.

Поэтому гармоническое колебание описывающие по закону (12) можно записать в виде экспоненциальной форме:

, (13)

где – комплексная амплитуд, не изменяется с течением времени, но её введение имеет глубокий физический смысл. Она изображается постоянным вектором на диаграмме колебаний. Этот вектор даёт возможность отображать сдвиги фаз между колебаниями различных физических величин.

Введение комплексного представления колебаний и комплексных амплитуд позволяет обойтись без векторных диаграмм.

Комплексная амплитуда результирующего колебания равно сумме комплексных амплитуд слагаемых, т.е. просто сумме комплексных чисел.

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной функции обозначаемая Re :

 

где

 

Начальная фаза колебаний, при использовании комплексного представления колебаний принципиально важно установить знак перед экспонентом exp (± i ).

 

Графическое представление гармонических колебаний

Векторные диаграммы

 

Колебания одного направления и одинаковой частоты становится нагляд­ным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол (рис. 2). Если привести этот вектор во вращение с угло­вой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси x в пределах от - А до + A, при этом координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

,

где - угол, который образовывается с осью и вектором А (рад .

Рисунок 1- Вектор колебания: - угол, который образовывается с осью и вектором А (рад , - угло­вая скорость ()

 

Проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с ам­плитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Длина вектора рав­на амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

 

 

 

Сложение колебаний