Сложений колебаний в теории дифракции

 

В теории волн, в частности при рассматривании явлений интерференции и дифракции, несколько волн, приходящих одновременно в заданную точку наблюдения, вызовут в ней колебания, которые будут складываться определенным способом, и всегда будет наблюдаться лишь результат этого сложения.

Рассмотрим дифракцию света.

Проникновение световых волн в область геометрической тени может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса. Однако этот метод принцтп не дает сведений об амплитуде, а следовательно и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства. Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил название принципа Гюйгенса-Френеля.

 

n

r

P

 

S

 

 

Рисунок 11 – Принцип Гюйгенса-Френеля: S - элемент волновой поверхности, P – точка наблюдения колебаний, r – расстояние (м) от элемента поверхности S до точки P, угол – угол между нормалью n к площадке S и направлением от S к точке P

 

Согласна принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента dS. Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r. Следовательно, от каждого участка dS волновой поверхности в точку P,лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание

(35)

где – фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k – волновое число, r – расстояние (м) от элемента поверхности dS до точки P, dS – площадь (м²), если напряженность электрического поля, тогда , =[м], , [ = , = [ ].

Множитель определяется амплитудой светового колебания в том месте, где находится dS. Коэффициент К зависит от угла между нормалью n к площадке dS и направлением от dS к точке P. При коэффицтент максимален, при он обращается в нуль.

Результирующее колебание в точке P представляет собой суперпозицию колебаний (35), взятых для всей волновой поверхности S:

(36)

Формула (36) является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля.

Рассмотрим подробно первую зону Френеля.

Пусть имеется точечный источник света S и точка наблюдения Р. Возьмем сферическую волновую поверхность и построим первую зону Френеля радиусом r_m. Волны, приходящие от разных точек волновой поверхности первой зоны в точку Р, имеют различные фазы. Разобьем волновую поверхность первой зоны на достаточно малые кольцевые участки, называемые субзонами. Пусть границы первой субзоны находятся от точки Р на расстоянии , которое удовлетворяет условию < (рис. 11).

 

Разобьем первую зону на шесть субзон.

 

 

А

a b +

r_m b + m

S a В h_m b P

 

 

Рисунок 11 – Сферическая волновая поверхность, первая зона Френеля:

S – источник волн, Р – точка наблюдения, r_m – радиус m-ой субзоны(м), h_m – высота сегмента (м)

 

Разность фаз волн, приходящих в точку P от двух любых соседних субзон равна .

Отметим на волновой сферической поверхности точки, соответствующие границаую в точку наблюдения P от первой центральной субзоны, за нуль. Тогда фаза волны, приходящей от второй субзоны, будет равна ; фаза волны, приходящей от третьей субзоны будет равна 2 и т.д. Другими словами, фазы вторичных волн, приходящих в точку наблюдения образуют арифметическую прогрессию: 0; ; 2 ; 3 … Чтобы найти амплитуду волны, приходящей от всей первой зоны Френеля, необходимо сложить колебания:

 

 

Рассмотрим распространение света от источника S к точке P методом графического сложения амплитуд.

Колебания, создаваемое в точке P каждой из субзоны, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания. Амплитуда колебаний, создаваемых такими зонами в точке P, медленно убывает при переходе от зоны к зоне.

А Δ

 

 

 

 

 

Рисунок 13 – векторная диаграмма

Если бы амплитуды волн, приходящих от субзон были одинаковы, то векторная диаграмма представляла собой звенья, вписанные в дугу полуокружности. (рис.13).

Углубление метода зон Френеля позволяет по-новому объяснит закономерности дифракции на круглом отверстии и действие зонных пластинок. Зависимости от того, четное или нечетное число зон Френеля укладывается в отверстии амплитуда волны, проходящей через круглое отверстие, периодически изменяется при увеличении радиуса отверстия. При этом графическое изменение амплитуды волны от радиуса отверстия можно совместить с полученной нами спиралью векторной диаграммы (рис.13). Например, если в отверстии содержится четное число зон Френеля (m = 2), то амплитуда принимаемой волны равна: А = А₁ + А₂, т.е. модуль этой амплитуды: А = А₁ – А₂.

Если в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля (m = 3), то амплитуда принимаемой волны равна: А= А₁ + А₂ + А₃, т.е. модуль этой амплитуды А= А₁ – А₂ + А₃.

Результирующая амплитуда будет во много раз больше, чем при свободном распространении волн. Этим объясняется фокусирующее действие амплитудной зонной пластинки. Аналогичный результат получится, если амплитудная зонная пластинка исключает действие нечетных зон Френеля.

 

 

Выводы

 

В работе было рассмотрено сложение двух одинакового направления колебаний одинаковой частоты, а также сложение разночастотных колебаний. Представление гармонических колебаний по средствам векторов даёт возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. В работе рассмотрены биения, как результат сложения колебаний одинакового направления с разными частотами. По заданным параметрам была построена векторная диаграмма, произведено аналитическое исследование колебаний и на основе этого построены графики процессов. А также в работе было рассмотрено сложение колебаний в теории дифракции. А именно, углубление принципа Гюйгенса-Френеля.