Уравнения и их интерпретация

Линейное уравнение является самым простым уравнением

корреляционной связи. Парная корреляция результативного признака Y с

одним фактором X изучается как часть множественной корреляции. Однако

связь Y с фактором X имеет самостоятельное аналитическое значение.

Рассмотрим методику проведения парной линейной корреляции на

примере.

Пример: по данным хозяйств Орловской области с помощью

корреляционно-регрессионного анализа изучим влияние урожайности

зерновых на рентабельность их реализации.

Исходные данные и расчет параметров уравнения связи

No п/п Урожайность,

ц/га (x)

Рентабельность, % (y)

Расчетные x2 x∙y

величины

~

x

y2 1 40,4 40,1 1632,16 1620,04 49,25 1608,0 2 16,8 12,5 282,24 210,00 19,52 156,3 3 21,0 32,5 441,00 682,5 24,81 1056,3 4 19,5 23,7 380,25 462,15 22,92 561,7 5 27,6 55,3 761,76 1526,28 33,13 3058,1 6 23,5 15,9 552,25 373,65 27,96 252,8 7 17,3 19,2 299,29 332,16 20,15 368,6 8 24,3 30,0 590,49 729,00 28,97 900,0 9 29,5 27,8 870,25 820,10 35,52 772,8 10 38,3 51,8 1466,89 1983,94 46,61 2683,2 Итого 258,2 308,8 7276,58 8739,82 308,84 11417,8

Исходя из условия задачи, определяем факторный признак (x) –

урожайность зерновых и результативный (y) – уровень рентабельности. Для

установления направления и аналитической формы связи между изучаемыми

факторами можно построить корреляционное поле.

Анализ точек, расположенных на поле графика, позволяет сказать, что

между изучаемыми факторами существует линейная зависимость, которая

математически выражается уравнением прямой линии:

bxay

x

y

~

,

где

x

= + ~ y

– теоретическое значение результативного признака;

x – факторный признак;

a – параметр уравнения (не имеет экономического смысла);

b – коэффициент регрессии, который выражает количественную

зависимость между факторами и показывает среднее изменение

результативного признака при изменении факторного на единицу.

Для определения параметров a и b используется способ наименьших

квадратов, основное требование которого заключается в том, чтобы сумма

квадратов отклонений фактических значений (y

i

) от теоретических значений

(

~ y

x

) равна (стремится к) min.

Σ

(yy

i

- ~

x) min 2 → Параметры уравнения регрессии (a и b) определяются путем решения

системы нормальных уравнений:

yxbna

+ Σ = Σ ⎩ xbxa

2 xy ⎩

⎧ ⎨

Σ + Σ = Σ ⎧ ⎨

10 2,258 a

+

a 2,258 +

58,7276 b = 8,308 b = 82,8739 ×

2,258 ×

⎧ ⎨ ⎩

a 2582

a

+ 24,66667 b = 16,79732 + 8,72765 b = 2,87398 -6098,56 b = - 7666,04

b = 1,26

Подставляя значение b в любое из уравнений системы, можно найти

параметр a.

a = -1,65

Уравнение регрессии, отражающее зависимость рентабельности

зерновых от их урожайности, будет иметь вид:

~ y

x

= - 26,165,1

+ x.

Коэффициент регрессии показывает, что в данной совокупности

хозяйств с увеличением урожайности зерновых на 1 ц/га уровень

рентабельности будет расти на 1,26 %.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в

среднем изменится результативный признак при изменении факторного на 1

процент. Для линейной связи коэффициент эластичности рассчитывается

следующим образом:

Э = b ×

x -

y -

Определим средние значения признаков:

x -

=

Σ

x i n

=

2,258 10

= 25,8 ц/га

y -

=

Σ

y i n

=

8,308 10

= 30,9 %

Э = 1,26 ×

9,30 8,25

= 1,05%

Таким образом, с увеличением урожайности зерновых на 1% уровень

рентабельности возрастет на 1,05%.

Уравнение регрессии позволяет количественно оценить связь между

признаками, поэтому корреляционные зависимости нашли широкое

применение в решении следующих задач:

Прогноз значений результативного признака при установленном

значении факторного признака. Предположим, урожайность зерновых

составит 50 ц/га, тогда рентабельность реализации должна будет вырасти до

уровня 61,35 %:

y = - 1,65 + 1,26 × 50 = 61,35 %

Вычисление теоретического уровня результативного признака

при средних значениях прочих факторов. Например:

~ y 1

-=

/25,494,4026,165,1 + × = ц га ~ y 1

-= /52,198,1626,165,1

+ × = ц га и т.д. (см. исходные данные)

Сумма теоретических значений результативного признака при этом

должна быть равна сумме фактических значений. В противном случае

следует проверить расчеты на наличие ошибок.

Измерение тесноты связи

Для измерения тесноты связи в статистике используется коэффициент