2018-01-08
3046
Считается, что в начертательной геометрии рассматриваются и решаются две основные задачи:
прямая задача – составление чертежа для пространственного объекта;
обратная задача – умозрительное воссоздание пространственного объекта по плоскому чертежу.
Во всех выше изложенных методах проецирования описывались, так называемые, однокартинные чертежи. То есть проекционные отображения предмета только на одну плоскость проекций.
Все рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу. Однако при использовании однокартинного плоского чертежа обратная задача не разрешима, так как такой чертёж по своей природе двумерен и отсутствие третьей координаты не позволяет воссоздать пространственный объект (см. Рис.6). Другими словами - чертеж должен обладать обратимостью.
Рис.6
На Рис.6 изображена пространственная кривая линия, проникающая через плоскость проекций П'. Как видно, её проекция не позволяет однозначно представить себе контуры линии в пространстве. Эта проблема разрешима и делается это разными способами. Например, на географических картах для третьей координаты используют линии равных высот, или высотные отметки. Но при этом не избежать дискретности указания третьей координаты, что для технического чертежа, который должен обладать высокой точностью, не приемлемо.
|
|
|
Обратимый чертёж может быть получен при ортогональном проецировании минимум на две связанные плоскости проекций.
ОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА (К.Ч.)
Если в пространстве на базе декартовой системы координат XYZ организовать три взаимно ортогональные плоскости проекций, то можно наглядно показать, как образуется плоский комплексный чертёж (К.Ч.). Его ещё называют эпюром Монжа.
Комплексный чертёж (К.Ч.) – это плоское многокартинное изображение объекта, полученное заранее оговорённым способом из взаимно ортогональных в пространстве плоскостей проекций с его (объекта) ортогональными проекциями.
При этом проекции точек на различных плоскостях проекций будут находиться в проекционной связи. Эту связь на К.Ч. фиксируют с помощью, так называемых, линий связи, пояснения о которых будут даны чуть ниже.
На Рис.7 горизонтальная плоскость проекций обозначена П1, вертикальная плоскость, развёрнутая перед наблюдателем фронтом ( фронтальная ) – П2, и правая вертикальная плоскость проекций, организованная на базе осей Z и Y, обозначена П3 - профильная плоскость проекций.
Стрелки осей указывают их положительные направления, а плоскости проекций, будучи бесконечными, условно ограничены для наглядности. Эти плоскости делят пространство на восемь так называемых октантов.
|
|
|
Октант, в котором все координаты положительные принято считать первым. Переходя из первого октанта вращением вокруг оси Х против часовой стрелки, за фронтальной плоскостью получим второй октант. 3-й октант находится под вторым, а 4-й под первым. За профильной плоскостью первого октанта находится 5-й октант. За фронтальной плоскостью 5-го октанта находится 6-й, под ним 7-й, а под пятым октантом - 8-й октант.
Разместив на Рис.7 в 1-м октанте простейший объект - точку А, спроецируем её на три плоскости проекций.
Получим:
А1, А2 и А3 – ортогональные проекции точки А на соответствующие плоскости проекций;
АА1, АА2 и АА3 – проецирующие лучи;
Рис.7
На Рис.8 пара отрезков А1А12 и А2А12 ┴ оси Х, 2-я пара А1А13 и А3А13 ┴ оси Y, и 3-я А2А23 и А3А23 ┴ оси Z – все они представляют собой проекции проецирующих лучей.
Способ перехода от рисунка ортогональных в пространстве плоскостей проекций с точкой А к плоскому чертежу этих объектов предложен Монжем и заключается в следующем (см. Рис.8):
Рис.8
•Горизонтальную плоскость проекций П1 вместе со всеми её отображениями поворачивают вниз по часовой стрелке вокруг оси Х до совмещения с фронтальной плоскостью П2, а профильную П3 отворачивают вокруг оси Z вправо опять же до совмещения с фронтальной.
Заметим, что при этом ось Y расщепится на две абсолютно равнозначные половинки. Одна будет принадлежать горизонтальной плоскости проекций и пойдёт вдоль отрицательного направления оси Z. Вторая половина будет «обслуживать» профильную плоскость проекций и пойдёт горизонтально вдоль отрицательной ветви оси Х.
Пары проекций проецирующих лучей, находившиеся на соседних плоскостях, сольются в прямые, перпендикулярные соответствующим осям и дадут, уже упомянутые линии связи.
Получим изображение, представленное на Рис.9, где уже отсутствует объект «А», но есть его три проекции - на П1, П2 и П3, развёрнутые в одну плоскость. Однако, отсутствие самого объекта не мешает элементарно решить вторую задачу начертательной геометрии. К примеру из Рис.9 следует, что в выбранной системе координат объект «А» имел приблизительно одинаковые глубину и высоту расположения, а его широта раза в два была больше.
Если же назначить масштабную единицу, то задача может быть легко решена не только качественно, но и абсолютно точно - количественно. Тогда для выбранного точечного объекта можно будет сделать всем знакомую запись задания координат точки:
А (хА, yA, zA).
Рис.9
Вводя атрибуты и обозначения, принятые для комплексного чертежа, получим окончательную его форму представления:
Рис.10
На Рис.10 изображён, так называемый, трёх-картинный комплексный чертёж с тремя проекциями для точки А (3,2,2). Нижние индексы при обозначении проекций (в данном случае - для точки) указывают плоскость, на которую соответственно произведено проецирование. Двойные индексы при обозначениях осей указывают на плоскости проекций, которые пересекаются по данной оси.
В начертательной геометрии на комплексном чертеже принято проекции А1 и А2, А2 и А3 попарно соединять так называемыми линиями связи, которые проводят тонкой сплошной линией. При построении проекций они всегда должны получаться перпендикулярными осям, которые пересекают (в противном случае надо искать ошибку проецирования). Следует обращать внимание и на обязательную одинаковость координат вдоль оси Y на П1 и на П3.
Естественно, что точка может находиться в любом октанте и иметь при этом разные знаки своих координат. Как следствие - на К.Ч. проекция, например, А1 может оказаться в зоне плоскости проекций П2, а А2 - в зоне П1. Это лишь означает, что сама точка была расположена в 3-м октанте с отрицательными координатами Y и Z. Поэтому ее проекция А1 при развороте горизонтальной плоскости и оказалась в непривычной для себя (на первый взгляд) зоне плоскости П2, а проекция А2 - под осью Х12, то есть, в зоне плоскости П1.
|
|
|
Поскольку точка полностью определяется тремя ее координатами, то совершенно безболезненно можно перейти от трех-картинного чертежа к двух-картинному с двумя плоскостями проекций. На таком К.Ч., к примеру, если не производится проецирование на П3, не будет горизонтальной оси Y13. Проецирование на первую из оставшихся плоскость проекций- дает две координаты точки, а проецирование на вторую - недостающую третью. В дальнейшем мы будем пользоваться и, так называемым, одноосным комплексным чертежом, а при изучении поверхностей чаще вообще безосным.
