Производные и дифференциалы высших порядков, механический смысл второй производной

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов): δ (d y) = δ [ f ' (x) d x ] = [ f ' (x) d x ] ' δ x = f '' (x) d (x) δ x.

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d ² y, т.е.

d ² y = f ''(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ(d ² y) от дифференциала d ² y, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f (x) и обозначается d ³ y и т.д.

Дифференциал δ(d ^n-1y) от дифференциала dⁿ ^-1 f, взятый при δ x = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f (x) и обозначается dⁿy.

Механический смысл второй производной:

Так как производная от координаты есть скорость, то, в свою очередь, производная от скорости есть ускорение:

Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Роля, теорема Лагранжа, теорема Коши.

Т.Роля:

Если непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале (a;b) и принимает на отрезках AB равные значения => внутри AB существует по крайней мере одна точка C, в которой производная обращается в ноль.