Первое достаточное и второе достаточное условие существования экстремума, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда:

• если при и при , то - точка максимума;
• если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Второй достаточный признак экстремума функции:

Пусть ,

• если , то - точка минимума;
• если , то - точка максимума.

Как видно, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .