2018-01-08
1513
Функция, заданная параметрически: 
,
Производная функции, заданной параметрически: 
57. Дифференциал функции, её геометрический смысл, правила дифференцирования, дифференциал сложной функции и инвариантность его формы, приближённые вычисления с помощью дифференциала.
Дифференциалом функции 
(обозначается через 
) называется следующее выражение:
где dx - дифференциал x при условии, что функция имеет производную.
Предположим, что существует следующее равенство функций:
тогда дифференциал от равенства есть
Для решения дифференциальных уравнений используют много разных способов: метод разделения переменных, метод вариации и т.д.
Например, в методе разделения переменных используется определение дифференциала функции т.е.
Геометрический смысл: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной.
Инвариантность: пусть y = f (u (x)) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем:
df = f '(x)· u '(x)· dx.
Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим:
df = f '(u)· du.
Что совпадает с соотношением dy = f '(x)· dx.
Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.
Приближенные вычисления: определение дифференциала позволяет получить формулу для приближённого вычисления значений функции в некоторой окрестности S(x 0, δ) точки х 0. Полагая Δ f (x) ≈ d f (x), получим формулу:
f (x) ≈ f (x 0) + d f (x).
При х 
х 0 погрешность вычисления по этой формуле есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δ х.
