2018-01-08
749
Пусть функция 
определена в точке 
и в некоторой окрестности этой точки.
Определение 7.1. Функция 
называется непрерывнойв точке 
, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Таким образом, данное равенство и само понятие непрерывности подразумевают выполнение трех следующих условий:
1) функция 
определена в точке 
и в окрестности этой точки;
2) существует предел функции при 
;
3) предел функции в точке 
равен значению функции в этой точке.
Невыполнение хотя бы одного из этих условий означает то, что функция не является непрерывной в точке .
Определение 7.2. Пусть функция 
определена в некотором интервале 
и 
– произвольная точка из этого интервала: 
. Для любого 
разность 
называется приращением аргумента 
в точке 
и обозначается 
: 
. Отсюда 
.
Определение 7.3. Разность соответствующих значений функции 
называется приращением функции 
в точке 
и обозначается 
(или 
или 
): 
или 
.
Используя введенные понятия приращения аргумента и приращения функции, дадим второе определение функции, непрерывной в точке.
Определение 7.4. Функция 
называется непрерывнойв точке 
, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
.
Используя ранее введенные понятия левостороннего и правостороннего пределов функции, дадим, наконец, третье определение функции, непрерывной в точке.
Определение 7.5. Функция 
называется непрерывнойв точке 
, если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняются следующие равенства:
.
Определение 7.6. Функция 
называется непрерывной в интервале 
, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 7.7. Функция 
называется непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна в интервале 
и в точке 
непрерывна справа (т.е. 
), а в точке 
непрерывна справа (т.е. 
).
Пример 7.2. Доказать, что функция 
непрерывна в произвольной точке 
.
Решение: Докажем непрерывность данной функции по определению. Пусть 
– приращение аргумента в произвольной точке 
. Вычислим соответствующее ему приращение функции:
Тогда, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:
Таким образом, 
, а это и означает по определению, что функция 
непрерывна в произвольной точке 
.
Пример 7.3. Доказать, что функция 
непрерывна в произвольной точке 
.
Решение: Докажем непрерывность данной функции снова по определению. Пусть 
– приращение аргумента в произвольной точке 
. Найдем соответствующее ему приращение функции:
.
Тогда
.
В последнем равенстве воспользовались тем, что произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции является бесконечно малой функцией.Таким образом, по определению (7.2), функция 
непрерывна в произвольной точке 
множества 
.
