Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.
Определение 7.1. Функция называется непрерывнойв точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке, т.е.
.
Таким образом, данное равенство и само понятие непрерывности подразумевают выполнение трех следующих условий:
1) функция определена в точке и в окрестности этой точки;
2) существует предел функции при ;
3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке.
Невыполнение хотя бы одного из этих условий означает то, что функция не является непрерывной в точке .
Определение 7.2. Пусть функция определена в некотором интервале и – произвольная точка из этого интервала: . Для любого разность называется приращением аргумента в точке и обозначается : . Отсюда .
Определение 7.3. Разность соответствующих значений функции называется приращением функции в точке и обозначается (или или ): или .
Используя введенные понятия приращения аргумента и приращения функции, дадим второе определение функции, непрерывной в точке.
Определение 7.4. Функция называется непрерывнойв точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
.
Используя ранее введенные понятия левостороннего и правостороннего пределов функции, дадим, наконец, третье определение функции, непрерывной в точке.
Определение 7.5. Функция называется непрерывнойв точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и выполняются следующие равенства:
.
Определение 7.6. Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Определение 7.7. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале и в точке непрерывна справа (т.е. ), а в точке непрерывна справа (т.е. ).
Пример 7.2. Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке .
Решение: Докажем непрерывность данной функции по определению. Пусть – приращение аргумента в произвольной точке . Вычислим соответствующее ему приращение функции:
Тогда, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:
Таким образом, , а это и означает по определению, что функция непрерывна в произвольной точке .
Пример 7.3. Доказать, что функция непрерывна в произвольной точке .
Решение: Докажем непрерывность данной функции снова по определению. Пусть – приращение аргумента в произвольной точке . Найдем соответствующее ему приращение функции:
.
Тогда
.
В последнем равенстве воспользовались тем, что произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции является бесконечно малой функцией.Таким образом, по определению (7.2), функция непрерывна в произвольной точке множества .