Предел функции и его свойства

Определение Коши используется для обоснования существования предела, а опред-иеГейна – для обоснования отсутствия предела.

Свойства предела: предел единственен и фун-ия в некоторой окрестности предельной точки ограничена.

Определение пределов по Гейне. Число А назывется пределом функции f(x) в т x0, если для для любой сходящейся к x0 последовательности (1) значений x, отличных от x0 соответствует последовательность (2), сходящаяся к числу А.

lim _x→x0 f(x) = A

(1) f(x)=c; любое x0

x1, x2, x3…→x0

c, c, c,c…→c lim_x→x0c=c

(2) f(x)=x; любое x0

x1; x2; x3…→x0

x1; x2; x3…→x0 lim_x→x0x=x0

Определение пределов по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в т x0, если для любого ε>0 δ=δ(ε), что ля всех x, удовлетворяющих условию или приним. δ – окрестности х0 |x-x0|<δ x≠x0

|f(x)-A|<ε

-δ<x-x0<δ

-δ+x0<x<δ+x0

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2)Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4)Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5)Предел частногоПредел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

если