Первый и второй замечательные пределы

Р ис. 1

Первый замечательный предел. Вывод первого замечательного предела представляет интерес с точки зрения приложения теории пределов, и поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком. Рассмотрим поведение функции при . Для этого рассмотрим окружность радиуса 1; обозначим центральный угол МОВ через х, при этом .

Тогда явно площадь DМОА < площадь сектора МОА <площадьDСОА (см. рис. 1).

S dмоа = s моа==sdcоа=

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

sin x < x < tg x.

П

осле почленного деления наsin x: или

Поскольку , то переменная заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, т.е., на основании теоремы о пределе промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

- первый замечательный предел.

Второй замечательный предел

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой:

e = 2,7182818284…»2,7.

Теорема. Функция при х, стремящемся к бесконечности, стремится к пределу е: