Для этого достаточно сделать линейную замену переменных

и подобрать постоянные и таким образом, чтобы

. (25)

При этом , а правая часть есть однородная функция нулевой степени.

Если же , то при некотором k, т.е. коэффициенты при и в числителе и знаменателе пропорциональны.

В этом случае уравнение заменой сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

 

Пример 5

. (26)

Запишем уравнение в виде:

. (27)

Это уравнение вида с

Поскольку

то применим замену

.

Тогда

Последнее выражение будет однородным нулевой степени при

(28)

Решим эту систему:

 

Таким образом, после замены

(29)

уравнение (27) приводится к однородному

(30)

Сделаем замену Тогда и уравнение (30) примет вид

откуда

, (31)

Проинтегрируем обе части. Найдем интеграл от левой части методом неопределенных коэффициентов:

При

При

Итак

В итоге получим:

 

.

Вернёмся к переменным х и у с помощью равенств (29):

(32)

Заметим,что функции и удовлетворяют уравнению (31)

и потому эти решения потеряны при разделении переменных.Запишем

эти функции в переменных и :

Пример 6

(33)

Поскольку коэффициенты при х и у в числителе и знаменателе пропорциональны:

то нужно сделать замену .

Тогда и уравнение (33) примет вид:

или

Интегрируя обе части, получим

Положив и подставив получим

Ответ: .

 

Линейные уравнения

Уравнение вида

(34)

называется линейным уравнением первого порядка. Другими словами, линейными называют уравнения, в которые неизвестная фукнция y и её производная входят в первой степени. Есть несколько методов решения линейных уравнений. Наиболее употребительным являются следующий.

Ищем решение в виде произведения двух функций: Тогда уравнение (34) примет вид

или (35)

Поскольку одну из функций u или v можно выбрать достаточно произвольно, найдем функцию v из условия, что выражение в скобках равно нулю:

. (36)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Допустим, мы нашли его общее решение. Возьмём одно из этих решений (ненулевое) и подставим в (35). Получим уравнение:

(37)

c уже известной функцией v(x).

Это тоже уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение получим общее решение исходного уравнения (34)

Таким образом, решение линейного уравнения (34) мы свели к последовательному решению уравнений (36) и (37) с разделяющимися переменными.

Пример 7

(38)

Решение:

Пусть .Тогда

или

(39)

Ищем v из уравнения

(40)

В этом уравнении переменные разделяются:

Поскольку нам достаточно получить одно из решений уравнения (40),

выберем v=cosx (взяли знак “+” и ). Подставив эту фнкцию в (39),получим:

Итак, общее решение уравнения (38)