Уравнения, сводящиеся к линейным

Есть несколько типов дифференциальных уравнений первого порядка, сводящихся к линейным. Один из них - уравнение Бернулли:

(39)

Заметим, что n-не обязательно целое число. Будем считать, что (иначе это уравнение будет линейным). Разделим обе части уравнения на :

Если ввести в рассмотрение новую неизвестную функцию то это уравнение примет вид:

(40)

Это уже линейное уравнение. Но на практике выгоднее не заниматься переходом к линейному уравнению (40), а сразу решать уравнение (39) тем же методом, что и линейное, т.е. подставкой

Пример 8

(41)

Решение:

Разделим обе части на х:

Пусть y=uv. Тогда

(42)

Найдём v из условия

Тогда

Выберем одно из решений Подставим его в (42):

Итак,

(44)

Заметим, что также является решением уравнения (43),но оно включается в решение (44) при

Итак, получаем общее решение исходного уравнения (41):

Ответ.

К линейным также сводятся уравнения вида:

(45)

(46)

В первом из них введением новой неизвестной функции получим линейное уравнение:

(47)

Уравнение (46) сводится к линейному уравнению

с помощью замены

Пример 9

(48)

Поскольку это уравнение вида (45) с то, применив замену получим линейное уравнение

Решив его (рекомендуем сделать это самостоятельно),получим:

откуда получаем общий интеграл исходного уравнения:

Пример 10

Это уравнение вида (46),поэтому сделаем замену Получим линейное уравнение Его решение (получите его самостоятельно):

откуда

5 Обмен ролями между функцией и аргументом

Возможны ситуации, когда дифференциальное уравнение нелинейно,но

становится линейным, если функцию и аргумент поменять ролями.

Пример 11

(50)

Это уравнение нелинейное. Запишем его в виде

т.е. будем считать y аргументом, а x функцией. Это уже линейное уравнение, поэтому его решение можно искать в виде произведения двух функций аргумента y: .