2018-01-08
337
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка называется уравнение вида
где Р(х) и Q(x) – функции от х. Если Q(x)≡0, то линейное дифференциальное уравнение называется однородным.
Пример 5. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Сначала найдем общее решение линейного однородного уравнения, т.е. уравнения
Умножив члены уравнения на 
, имеем 
, откуда 
Интегрируя, получим ln|y|+x=ln|C|, откуда у=С 
. Это и есть общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
Будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=С 
(*).
Дифференцируя равенство (*) получим 
(**).
Сложив почленно левые и правые части равенств (*) и (**), найдем 
+у= 
. Так как правая часть данного уравнения равна , то = , т.е. 
. Отсюда находим С(х) = х + С1, С – произвольная постоянная. Следовательно, искомое общее решение имеет вид 
Пример 6. Найти частное решение уравнения y ' = 
, если у = 1 при
х = 0.
Решение. Напоминаем, что y ' = 
, значит 
.
Разделяя переменные, получим: 
Теперь интегрируем:
; 
;
; у = 
.
Общее решение найдено. Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения х = 0 и у = 1 в общее решение:
|
|
|
1 = 
; 1 = 
; С = 0
Следовательно, искомое частное решение имеет вид у = ех
Пример 7. Решить уравнение у'=- 
, удовлетворяющее условию у(4) = 1.
Решение. Имеем 
или 
. Проинтегрировав, получим:
lnу=lnс-lnх, т.е. у= 
общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1= 
, с = 4.
Получаем: у= 
- частное решение уравнения у/=-
