Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка называется уравнение вида

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка называется уравнение вида

где Р(х) и Q(x) – функции от х. Если Q(x)≡0, то линейное дифференциальное уравнение называется однородным.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Сначала найдем общее решение линейного однородного уравнения, т.е. уравнения

Умножив члены уравнения на , имеем , откуда

Интегрируя, получим ln|y|+x=ln|C|, откуда у=С . Это и есть общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.

Будем искать общее решение заданного уравнения в виде у=С (*).

Дифференцируя равенство (*) получим (**).

Сложив почленно левые и правые части равенств (*) и (**), найдем +у= . Так как правая часть данного уравнения равна , то = , т.е. . Отсюда находим С(х) = х + С₁, С – произвольная постоянная. Следовательно, искомое общее решение имеет вид

Пример 6. Найти частное решение уравнения y ' = , если у = 1 при

х = 0.

Решение. Напоминаем, что y ' = , значит .

Разделяя переменные, получим:

Теперь интегрируем:

; ;

; у = .

Общее решение найдено. Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения х = 0 и у = 1 в общее реше­ние:

1 = ; 1 = ; С = 0

Следовательно, искомое частное решение имеет вид у = е^х

Пример 7. Решить уравнение у'=- , удовлетворяющее условию у(4) = 1.

Решение. Имеем или . Проинтегрировав, получим:
lnу=lnс-lnх, т.е. у= общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х = 4 и у = 1 в общее решение уравнения: 1= , с = 4.
Получаем: у= - частное решение уравнения у^/=-