Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение общих и частных решений

Уравнение вида у" + by' + су=0,где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным диф­ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта

характеристического уравнения

k² + bk + c = 0

имеют следующий вид:

а) если D> 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения;

б) , если D = 0,

где α— единственный корень характеристического уравнения;

в) если D< 0,

где

Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать ЛОДУ в виде y'' + py ' + qy = 0.

2.Составить его характеристическое уравнение к² + pŸ к + q = 0,

при этом вводятся обозначения у^¢¢ = к ², у ' = к, у = 1.

3.Вычислить дискриминант D = p²– 4q:

а) если D > 0, то характеристическое уравнение имеет два различных корня к₁ ≠ к₂. Общее решение ДУ записывается в виде

у = С₁е ^{к х} + С₂е ^{к х}, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

б) если D = 0, то характеристическое уравнение имеет два равных корня к₁ = к₂ = к. Общее решение ДУ записывается в виде

у = С₁е ^{к х} + С₂ х е ^{к х}.

в) если D < 0, то характеристическое уравнение имеет два комплексных

корня к₁ = а + bi, к₂= а – bi, где а, b – действительные числа, i = ,

i – мнимая единица. Общее решение ДУ записывается в виде

у = е ^{а х}(С₁ cosbx + C₂sinbx).[6]