Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы, называется дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное урав­нение. Например, уравнение вида xy¢ + y- 2 = 0 - первого поряд­ка; y¢¢= sinx + 1 - второго порядка и т.д.

Решением или интегралом дифференциального уравнения является функция вида у = f (x), которая обращает это уравнение в тождество.

Так, например, решением уравнения y¢=3x² является множест­во функций вида y = x³ + C, где С - постоянная. Действительно, y¢=(x³+ С) = 3х².

Решение y = x³ + Cназывается общим решением. Решения у = х³+ 1, у = х³ - 5 и другие, которые получаются из общего при различных числовых значениях постоянной С, называются частными решениями.

Общее решение (или общий интеграл) дифферен­циального уравнения - это такое решение, в которое входит столь­ко независимых постоянных, каков порядок уравнения. Например, уравнение, рассмотренное выше,- уравнение первого порядка. Его общее решение содержит одну постоянную. Уравнение y¢¢+ 4у = 0 -уравнение второго порядка. Его общее решение у = С ₁sin2 x + C ₂cos 2 x содержит две постоянные C₁и C₂

Частное решение (или частный интеграл) дифференциального уравнения - это решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных зна­чениях аргумента и функции.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию у_о= f (x ₀), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения, задача Коши состоит в выделении из семейства интегральных кривых кривой, проходящей че­рез заданную точку (х _о; у _о).

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Уравнение вида f (x) dx + j (y) dy = 0 называется уравнением с разделенными переменными. Решение такого уравне­ния выполняется непосредственным интегрированием.

Пример 1. Найти частное решение уравнения dy = 3 x² dx, удовлетворяющее условию: у = 3 при х = 1.

Решение. Интегрируя, получим = х²dx; y = x³ + C.Это общее решение.

Пример 2. Найти частное решение уравнения = , если у = -8 при х = 1.

Решение. Интегрируя, получим: = Ûlnêy+ 2ê= lnêx - 3ê + C_1.

Произвольную постоянную C₁ можно обозначить через lnêC₁ê,тогда

lnêy+ 2ê= lnêx - 3ê + lnêC₁ê.

Потенцируя, получим

êy+ 2ê= êC₁ê×êx - 3ê

êy+ 2ê=±C₁× (x – 3) Ûy + 2 = C× (x – 3), где С = ±C₁

Вы­делим из общего решения частное. Для этого подставим в общее ре­шение х = +1, у = - 8:

-8 + 2 = С·(1 - 3); откуда С = 3.

Значит, частное решение, удовлетворяющее заданным условиям, имеет вид:

у + 2 = 3(х - 3) Û у = 3х - 11.