2018-01-08
649
Приклад 2.17. Сума, на яку нараховуються неперервні відсотки, дорівнює 1000 грн., сила росту 10%, термін 3 роки. Знайти нарощену суму та рівнозначну дискретну річну складну ставку відсотків.
▲ Нарощена сума
грн.
Неперервне нарощення по сила росту 10%, рівнозначне нарощуванню за цей же термін дискретних складних відсотків по річній ставці:
.
Зробимо перевірку по формулі (3.1)
грн. ▲
Для неперервного дисконтування з формули (3.33) випливає формула
, (3.36)
де 
– дисконтний множник.
Приклад 2.18. Боргове зобов’язання на суму 7000 грн. термін оплати якого через 4 роки, продано з дисконтом по силі росту 15%. Знайти розмір отриманої суми і величину дисконту. Порівняти ці величини для дискретної складної ставки такого ж розміру з прикладу 2.12.
▲ З формули (3.36) отримаємо
грн.
7000–3841,681=3158,319 грн.
Пригадаємо, що для складної облікової ставки 
грн., 3345,956 грн.
Отже, дисконтування для боржника є вигідним по силі росту, для банку – по складній обліковій ставці. ▲
Приклад 2.19. Яка сума буде на рахунку, якщо 5 тис. грн. покласти на 10 років під 17% відсотків річних. Відсотки нараховуються а) 1 раз на рік; б) поквартально. Розрахунок провести з допомогою фінансових функцій в EXCEL.
|
|
|
▲ Обчислення проводяться за формулою
а) 
в EXCEL БЗ (0,17; 10;; –5);
б) 
в EXCEL БЗ (0,17/4; 10×4;; –5). ▲
Приклад 2.20. По облігації номіналом 6 тис. грн., випущеній на 5 років, передбачено наступний порядок нарахування відсотків: 1-й і 2-й рік – 10%, 3-й – 15%, 4-й і 5-й – 20%. Визначити нарощену суму.
▲ Обчислення проводяться за формулою
в EXCEL БЗРАСПИС (6, {0,1; 0,1; 0,15; 0,2; 0,2})
або занести відсотки в деякий масив, наприклад, А1:А5, то функція матиме вигляд БЗРАСПИС (6, А1:А5). ▲
Приклад 2.21. Фірмі потрібні 6 тис. грн. через 5 років. Скільки треба вкласти сьогодні під 10% відсотків річних. Відсотки нараховуються а) 1 раз на рік; б) щомісячно.
▲ Обчислення проводяться за формулою
а) 
тис. грн.
в EXCEL ПЗ (0,1; 5;; 6)=3,73 тис. грн.;
б) 
тис. грн.
в EXCEL ПЗ (0,1/12; 12×5;; 6). ▲
Приклад 2.22. Потрібно розрахувати за який термін сума 3000 грн. буде дорівнювати 5000 грн. якщо відсотки нараховуються по складній ставці 15%:
а) один раз у рік;
б) поквартально;
за допомогою фінансових функцій в EXCEL.
▲ Обчислення проводяться за формулою в EXCEL
а) КПЕР(0,15;; –3000; 5000)=3,654 р.;
б) КПЕР(0,15/4;; –3000; 5000)=3,468 р. ▲
Приклад 2.23. Якими повинні бути складні ставки, щоб сума 3500 грн. виросла за 5 років до 6000 грн.:
а) відсотки нараховуються один раз у рік;
б) по півріччях.
Результат знайти за допомогою фінансових функцій в EXCEL.
▲ Обчислення проводяться за формулою в EXCEL
а) НОРМА(5;; –3500; 6000)= 0,113824. ▲
3. ФІНАНСОВІ РЕНТИ
Приклад 3.1. Передбачено видачу позики в часі:
|
|
|
1 жовтня 2000 р. – 3 тис. грн.
1 квітня 2001 р. – 5 тис. грн.
1 січня 2002 р. – 8 тис. грн.
Необхідно визначити суму заборгованості на 1 січня 2004 р., при умові, що відсотки нараховуються по ставці 17%.
▲ Зобразимо схематично видачу позики
| |||||
 | |||||
|
Нарощену суму боргу знаходимо використовуючи формулу (4.1)
тис. грн.
По цих же даних визначимо сучасну вартість потоку на момент виплати першої суми по формулі (4.2)
тис. грн. ▲
Приклад 3.2. Створюється фонд у який внески поступають у вигляді постійної річної ренти постнумерандо на протязі 4 років. Розмір разового внеску 1 млн. грн. На засоби, що поступають, нараховуються відсотки по ставці 18% річних.
Розрахувати величину фонду на кінець терміну.
▲ Обчислення проводяться за формулою (4.3)
млн. грн.
Для випадку річної ренти з одноразовим нарахуванням відсотків у році обчислити нарощену суму можна в EXCEL з допомогою функції БЗ. В даному прикладі обчислення наступні
БЗ (0,18; 4; –1;; 0)=5,215432 млн. грн.
або БЗ (0,18; 4; –1)=5,215432 млн. грн.
Зауваження. На місці виплати вводимо розмір платежу ренти завжди від’ємним, на місці початкової суми нічого не вводимо, тип 0 відповідає ренті постнумерандо. ▲
Приклад 3.3. Змінимо умову попередньої задачі. Нехай на засоби, що поступають, нараховуються відсотки по півріччях. Тоді кожен раз вони рахуються по ставці 
.
▲ Величина фонду на кінець терміну
млн. грн. ▲
Приклад 3.4. Вернемося до умови попередньої задачі. Нехай на засоби, що поступають, нараховуються відсотки раз у рік, платежі виплачуються поквартально.
▲ Тоді розмір одного платежу 
млн. грн. Загальна кількість платежів 
. Нарощена сума
млн. грн. ▲
Приклад 3.5. Вернемося до умови попередньої задачі. Нехай платежі виплачуються поквартально і відсотки нараховуються теж поквартально.
▲ Обчислимо нарощену суму по формулі (4.6)
млн. грн.
В EXCEL з допомогою функції БЗ обчислення наступні
БЗ (0,18/4; 4*4; –1/4;; 0)=5,679834 млн. грн.
або БЗ (0,18/4; 4*4; –1/4)=5,679834 млн. грн. ▲
Приклад 3.6. Для даних до попередньої задачі при
а) виплачуванні платежів поквартально, додамо, що відсотки нараховуються щомісячно;
б) виплачуванні платежів щомісячно, додамо, що відсотки нараховуються поквартально.
▲ Розмір фонду по формулі (4.7)
а) 
млн. грн.
б) 
млн. грн. ▲
Приклад 3.7. До умови попередньої задачі, додамо, що відсотки нараховуються безперервно з силою росту 
.
▲ Розрахуємо нарощену суму при р =1 по формулі (4.8)
млн. грн.
при р =4 по формулі (4.9)
млн. грн. ▲
Приклад 3.8. Створюється фонд у який внески поступають у вигляді постійної річної ренти постнумерандо на протязі 4 років. Розмір разового внеску 1 млн. грн. На засоби, що поступають, нараховуються відсотки по ставці 18% річних.
Розрахувати сучасну вартість майбутніх платежів.
▲ Обчислення проводяться за формулою (4.10)
млн. грн.
Таким чином сучасна вартість майбутніх платежів дорівнює 2,690062 млн. грн. або, іншими словами, 2,690062 млн. грн., розміщені під 18% річних забезпечать щорічну виплату по 1 млн. грн. на протязі 4-ох років.
Для випадку річної ренти з одноразовим нарахуванням відсотків у році обчислити сучасну вартість можна в EXCEL з допомогою функції ПЗ. В даному прикладі обчислення наступні
ПЗ (0,18; 4; –1;; 0)=2,690062 млн. грн.
або ПЗ (0,18; 4; –1)= 2,690062 млн. грн. ▲
Приклад 3.9. Змінимо умову попередньої задачі. Нехай на засоби, що поступають, нараховуються відсотки по півріччях. Тоді кожен раз вони рахуються по ставці .
▲ Сучасна вартість майбутнього фонду
млн. грн. ▲
Приклад 3.10. Вернемося до умови попередньої задачі. Нехай на засоби, що поступають, нараховуються відсотки раз у рік, платежі виплачуються поквартально.
|
|
|
▲ Тоді розмір одного платежу млн. грн. Загальна кількість платежів 
. Сучасна вартість
млн. грн. ▲
Приклад 3.11. Вернемося до умови попередньої задачі. Нехай платежі виплачуються поквартально і відсотки нараховуються теж поквартально.
▲ Обчислимо сучасну вартість по формулі (4.13)
млн. грн.
В EXCEL з допомогою функції ПЗ обчислення наступні
ПЗ (0,18/4; 4*4; –1/4;; 0)=2,808504 млн. грн.
або ПЗ (0,18/4; 4*4; –1/4)= 2,808504 млн. грн. ▲
Приклад 3.12. Для даних до попередньої задачі при
а) виплачуванні платежів поквартально, додамо, що відсотки нараховуються щомісячно;
б) виплачуванні платежів щомісячно, додамо, що відсотки нараховуються поквартально.
▲ Сучасна вартість фонду по формулі (4.14)
а) 
млн. грн.
б) 
млн. грн. ▲
Приклад 3.13. До умови попередньої задачі, додамо, що відсотки нараховуються безперервно з силою росту .
▲ Розрахуємо сучасну вартість при р =1 по формулі (4.15)
млн. грн.
при р =4 по формулі (.16)
млн. грн. ▲
Приклад 3.14. Планується на протязі 6 років створити фонд розміром 7 млрд. грн. шляхом щорічних внесків постнумерандо по 1 млрд. грн. Якою повинна бути річна відсоткова ставка, щоб досягнути мети?
▲ Визначимо коефіцієнт нарощення
З таблиць коефіцієнтів нарощення знаходимо, що близькими до цього коефіцієнта є
і
.
Тому припускаємо, що шукана відсоткова ставка знаходиться в межах 5%-7%. Підставляємо всі значення в формулу (4.25)
.
Зробимо перевірку, підрахувавши нарощену суму для знайденого значення відсоткової ставки
млрд. грн. ▲
Приклад 3.15. Річна рента постнумерандо з параметрами R та n ділиться в часі між двома учасниками. Нехай ділиться спадок. Умови поділу такі:
а) кожен отримує 50% капіталізованої вартості ренти;
б) рента сплачується спочатку першому учаснику, потім другому.
Протягом якого періоду часу сплачується рента для кожного учасника?
▲ Нехай перший учасник отримує свої 50% протягом 
років, тоді другий – протягом 
. Перший учасник отримує термінову ренту, другий – відкладену. Згідно умови а):
;
;
.
Звідси знайдемо 
|
|
|
,
,
,
,
, (4.39)
а . ▲ (4.40)
Приклад 3.16. Нехай ділиться спадок з умовами поділу такими як в попередньому прикладі для 
, 
.
Знайти періоди часу протягом яких сплачується рента для кожного учасника.
▲ Використовуємо формулу (4.39)
роки,
а 
років.
Отже, для першого учасника рента сплачується 3 роки, для другого – 5 років. ▲
4. РИЗИК І ДИВЕРСИФІКАЦІЯ
Приклад 4.1. Інвестор має портфель, що складається з двох акцій А та В з доходами відповідно 200% та 250%. Причому частка акції А становить 40% портфеля. Необхідно підрахувати сумарний дохід портфеля.
▲ Сумарний дохід портфеля знаходимо використовуючи формулу (5.1)
▲
Приклад 4.2. Дві акції А та В мають відповідно середні доходи 
10% та 
12%, середні квадратичні відхилення доходу 
, 
. Доходи акцій статистично залежні з коефіцієнтом кореляції 
. Частка акції А становить 60%. Обчислити сумарний дохід і ризик портфеля.
▲ Сумарний дохід портфеля знаходимо використовуючи формулу (5.1)
,
дисперсію по (5.3)
.
Ризик портфеля
. ▲
Приклад 4.3. Дві акції А та В мають доходи 12%, 16%, ступені ризику 
, 
та 
. Проаналізувати сумарний дохід і ризик портфеля, зобразити графічно.
▲ Сумарний дохід і ризик портфеля
;
.
Для графічного зображення надаємо різні значення 
і 
( + =1).
Зменшуючи ризик, одержуємо прямо пропорційне зменшення доходу. Випадок не цікавий для інвестора. ▲
Приклад 4.4. Розглянемо випадок як в попередньому прикладі тільки з 
.
▲ Сумарний дохід і ризик портфеля
;
.
Використаємо формули (5.10)
; 
.
Отже, при структурі портфеля 
, 
ризик портфеля дорівнює 0, сумарний дохід
.
Для графічного зображення надаємо різні значення і ( + =1).
В точці С – =1, а =0, в точці D – ризик портфеля дорівнює 0, в точці N – =0, а =1. На відрізку DN зростає частка акції В, зростає сумарний дохід, але ризик теж зростає.
Розсудливий інвестор не обере портфеля з СD бо на DМ існує портфель з таким же ступенем ризику, але більшим доходом.
DN – множина ефективних портфелів. ▲
Приклад 4.5. Дві акції А та В мають доходи 40%, 60%, ступені ризику 
, 
та 
. Проаналізувати сумарний дохід і ризик портфеля, зобразити графічно.
▲ Сумарний дохід і ризик портфеля:
;
.
Використаємо формули (5.12)
; 
.
Отже, при структурі портфеля 
, 
ризик портфеля мінімальний
=4,2%,
сумарний дохід
.
Для графічного зображення надаємо різні значення і ( + =1).
В точці M =1, а =0, в точці C ризик портфеля мінімальний, в точці N =0, а =1. На відрізку СN зростає частка акції В, зростає сумарний дохід, але ризик теж зростає.
Розсудливий інвестор не обере портфеля з МС бо на СK існує портфель з таким же ступенем ризику, але більшим доходом.
СN – множина ефективних портфелів. ▲
[1] Тут і надалі посилання здійснюються на формули з методичних вказівок „Фінансова математика”/ Укладачі К.М. Березька, Р.В. Руська - Тернопіль, 2004. - 120 с.
