Лекция 2. Свойства и графики элементарных функций

2.1. Степенная функция

Свойства функции и вид графика зависят от показателя степени n.. При этом графики всех степенных функций проходят через точку с координатами (1; 1).

Вид графика:

1. Натуральный показатель
Для четного показателя: функция Четная; Ограниченная снизу; имеет экстремум – минимум в точке x=0	Для нечетного показателя: функция Нечетная; Неограниченная; Монотонно возрастающая; экстремумов не имеет, x=0 – точка перегиба
2. Целый отрицательный показатель
Для четного показателя: функция четная; экстремумов не имеет; ограниченная снизу Ось Ox – горизонтальная асимптота; Ось Oy – вертикальная	Для нечетного показателя: функция – нечетная; неограниченная; монотонно убывающая; Ось Ox – горизонтальная асимптота; Ось Oy – вертикальная
3. Рациональный показатель (дробный)
Для положительного показателя: функция общего вида, монотонно возрастает, экстремумов и асимптот не имеет	Для отрицательного показателя: функция общего вида; монотонно убывает

2.2. Рациональная функция (частные случаи)

· Линейная функция. Общий вид . Графиком функции является прямая. Число k – угловой коэффициент . Если k>0 линейная функция возрастает, k<0 - убывает, k=0 – прямая параллельна оси абсцисс (в этом случае имеем частный случай – постоянную функцию, которая в общем виде задается уравнением y = C).

· Квадратичная функция. Общий вид . Графиком функции является парабола. Число – старший коэффициент. Отвечает за направление ветвей параболы; при a>0 – ветви вверх, при a<0 – ветви вниз. Коэффициент b отвечает за вершину параболы; координаты вершины: ; прямая - ось симметрии параболы. Нули функции – это корни квадратного уравнения .

На самом деле график любой квадратичной функции можно получить из графика функции путем преобразования.

Например: ;

Графиком функции является парабола, ветви вверх, вершина (2,5; -0,25), ось симметрии , нули функции .

2.3. Показательная и логарифмическая функции