Лекция 1. Числовая последовательность и ее предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.1. Числовая последовательность

Последовательность можно понимать как частный вид функций, а именно как функцию номера места члена последовательности . Обозначение числовой последовательности - или , где n – номер члена последовательности, a_n – общий член последовательности.

S_n – последовательность сумм. .

Примеры числовых последовательностей:

• ;
• ;
• и т.д.

Способ задания последовательности, при котором для вычисления n-го члена надо знать предыдущие, называется рекуррентным.

К известным рекуррентным соотношениям относят:

· Арифметическую прогрессию (a_n ) – , d – разность прогрессии.

Например, сумма n первых натуральных чисел: ;

· Геометрическую прогрессию (b_n) – , q – знаменатель прогрессии. При | q | < 1 получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию;

· Последовательность Фибоначчи. Если взять a₁=1, a₂=2, то получится стандартная последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 11, 21, … Здесь , т.е. задается с a₃. Формула общего члена:

· Последовательность факториалов. Приняв a₁=1, a_n является произведением натуральных чисел от 1 до n: . Восклицательный знак – это обозначение факториала. Например: .Формула общего члена: .

Конечно, существует бесконечно много различных числовых последовательностей.

1.2. Свойства последовательностей.

· Над последовательностями можно производить арифметические операции: сложение (вычитание) и умножение (деление);

· Возрастающая последовательность – последовательность, в которой каждый последующий член больше предыдущего, т.е. для любого .

Убывающая последовательность – соответственно для любого .

Монотонная последовательность – это последовательность, которая является либо возрастающей, либо убывающей.

· Ограниченные последовательности. Последовательность называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. такое число С, что для всех номеров n выполняется неравенство: .

Возрастающая последовательность ограничена сверху, если для всех n ;

Убывающая последовательность ограничена снизу, если для всех n ;

Чтобы последовательность была ограниченной, необходимо, чтобы она была ограничена и сверху и снизу.

1.3. Предел последовательности

Число A называют пределом последовательности a₁,a₂,…, если начиная с некоторого момента все члены этой последовательности, будут сколь угодно мало отличаться от A.

Произношение: предел последовательности a_n при n стремящемся к бесконечности; lim - от латинского «лимит».

Последовательности, которые имеют пределы, называются сходящимися, а которые не имеют – расходящимися.

Правила вычисления пределов:

Примеры вычисления пределов последовательностей

В приведенных примерах: первые четыре – сходящиеся последовательности, т.к. имеют конечный предел, а пятая – расходящаяся последовательность.

Признак сходимости последовательности. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

К явно сходящимся последовательностям относится и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

1.4.1. Окрестность точки

Определение. Дельта (δ) - окрестностью точки a называется множество точек пространства, удаленных от точки a на расстояние меньшее, чем δ, т.е.

1.4.2. Бесконечно Малые Функции (Б.М.Ф.)

Определение. Функция α(x) называется бесконечно малой в точке а (или при x→a), если для всякого сколь угодно малого числа ε >0 можно указать такую δ - окрестность точки а, что для всех x, попадающих в эту окрестность, выполняется неравенство .

Т.е. если:

то:

Примеры Б.М.Ф.

1) y = x – 2 Б.М.Ф. в точке x = 2 (можно записать: при x→2 y→0)

2 ) y = sin x Б.М.Ф. в точке x = 0, π, 2π…

3) Б.М.Ф. в точке x = 2

1.4.3. Бесконечно Большие Функции (Б.Б.Ф.)

Определение. Функция Φ(x) называется бесконечно большой при x→a, если Φ(x) ≠ 0 в некоторой окрестности точки а и 1/ Φ(x) является б.м.ф. (x→a).

Запись: при Φ(x) > 0 ; при Φ(x) < 0

Например, функция (см. рис.)

(x≠1) является б.б.ф. при x→1, т.е.

Это очевидно, т.к. 1/Φ(x) = (x – 1)² – б.м.ф. при x→1

Если f(x) – бесконечно большая функция в окрестности точки a, тогда график функции в этой точке «взвивается» вверх (на +∞) или резко уходит вниз (на −∞). Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика.

1.5. Практическая работа № 4 «Числовые последовательности»

1.5.1. Найдите 4-й член последовательности, если последовательность задана формулой:

1.5.2. Найдите предел последовательности, заданной формулой общего члена:

;

1.5.3.. Найдите сумму членов бесконечно убывающей геометрическойпрогрессии: