2018-01-08
3511
3.1. Основные теоремы о пределах
1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. если f(x) = C, то 
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
2. Теорема. Предел суммы равен сумме пределов: т.е. если
3. Теорема. Предел произведения равен произведению пределов, т.е. если
4. Теорема. Предел частного равен частному пределов, т.е. если
5. Теорема (о позитивности предела). Если при 
;
6. Теорема (о пределе промежуточной функции)
Если 
, 
и для любого х из окрестности точки a выполняется неравенство
для некоторой функции γ(x), то 
.
При вычислении пределов часто появляются неопределенности. Неопределенности могут иметь вид: 
и другие. Для избавления от неопределенности используем:
· Формулы сокращенного умножения;
· Разложение квадратного трехчлена на множители;
· Операцию «домножения на сопряженное»;
· Деление на старшую степень переменной и т.п.
3.2. Практическая работа № 5 «Вычисление пределов»
Примеры.
1) 
;
2) 
;
3) 
4) 
;
Применив формулу разности квадратов, избавились от «плохого» сомножителя;
|
|
|
5) 
;
Здесь помогло разложение на множители числителя и знаменателя;
6) В этом примере используем операцию «домножения на сопряженное»:
7) 
Здесь нужно каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на старшую степень:
- Кроме чисел 1 и 2 все остальные слагаемые числителя и знаменателя являются б.м.ф. при x→∞, т.е. 
, аналогично и другие.
Вообще, если ищем предел отношения многочленов, то он равен отношению старших коэффициентов, если равны степени. В противном случае, надо раскрывать неопределенность.
