1. Розв’яжемо задачу при N = 3, p = 0,8.
а) Дискретна випадкова величина - число випробуваних приладів. Можливі значення цієї випадкової величини: Знайдемо ймовірності цих значень. Позначимо події: - i-ий випробуваний прилад виявився надійним, - i-ий випробуваний прилад виявився ненадійним. Тоді
= P( =1) = P() = 1- 0,8 = 0,2,
= P( =2) = P() = 0,8· 0,2 =0,16,
= P( =3) = P() = 0,8·0,8·0,2 + 0,8· 0,8·0,8 = 0,64.
Закон розподілу має вигляд (Таблиця 2):
Таблиця 2. Закон розподілу дискретної випадкової величини.
0,2 | 0,16 | 0,64 |
б) Функцією розподілу F(x), яка визначена для будь-якого дійсного x, називається ймовірність того, що випадкова величина x прийме значення менше x, тобто де . Оскільки функція F(x) визначена для всіх дійсних значень x, то розглянемо послідовно інтервали:
1) х Î (- ∞, 1], F (x) = P (x < x) = 0, тому що подія(x < x)для такого x єнеможливою подією.
2) х Î (1, 2], F (x) = P(x = 1) = 0,2, тут нерівності x < x задовольняє єдине значення x= 1
3) х Î (2, 3], F (x) = P(x = 1) + P (x = 2) = 0,2 + 0,16 = 0,36, тут нерівності x < x задовольняють два значення x = 1і x = 2.
|
|
4) xÎ (3, ), F (x) = P(x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3) = 0,2 + 0,16 + 0,64 = 1, тут нерівності x < x задовольняють всі значення x. Таким чином,
График функції розподілу наведен на Рисунку 1.
Рисунок 1. Графік розподілу випадкової величини Задачи 1..
в) Знайдемо математичне сподівання та дисперсію.
=1· 0,2 + 2 · 0,16 + 3 · 0,64 = 2,44,
1· 0,2 + 4 · 0,16 + 9 · 0,64 - (2,44)2 = 0,6464.
2. Випадкова величина розподілена за законом, який обумовлений щільністю розподілу ймовірностей виду
f (x) =
Знайти параметр a, F(x), M (x), D ( x).
Параметр a знайдемо із властивості , інтеграл розіб'ємо на суму трьох інтегралів
Намалюємо графік щільності розподілу f (x) (Рисунок 2)
Рисунок 2. Графік щільності розподілу f (x)
Обчислимо функцію розподілу, для цього розглянемо інтервали .
1. х Î (- ∞, 0) ,
2. х Î [0, 2] ,
3. х (2, ) .
Графік функції наведений на Рисунку 3.
Обчислимо математичне сподівання й дисперсію:
Рисунок 3. Графік функції розподілу неперервної випадкової величини.
Варіанти завдань.
Таблиця 3. Варіанти до завдання 2.
Пере- мінна | Номер варіанта | ||||||||||||||
N | |||||||||||||||
p | 0,80 | 0,82 | 0,83 | 0,84 | 0,85 | 0,96 | 0,97 | 8,88 | 0,90 | 0,91 | 0,92 | 0,93 | 0,94 | 0,95 | 0,96 |
k | |||||||||||||||
x1 | -1 | -1,5 | -2 | -2,5 | -1 | -1.5 | -2 | 1,5 | 1,5 | -1,5 | |||||
x2 | 1,5 | 2,5 | 2,5 | 1,5 |
Продовження Таблиці 3.
Пере- мінна | Номер варіанта | ||||||||||||||
N | |||||||||||||||
p | 0,80 | 0,82 | 0,83 | 0,84 | 0,85 | 0,96 | 0,97 | 8,88 | 0,90 | 0,91 | 0,92 | 0,93 | 0,94 | 0,95 | 0,96 |
k | |||||||||||||||
x1 | -0,5 | -0,5 | -0,5 | -1 | -0,2 | -0,2 | -0,2 | -1,2 | -1,2 | -1,2 | -1,2 | -0.8 | -0,8 | -0,7 | -0,7 |
x2 | 0,5 | 1,5 | 0,2 | 0,5 | 1,2 | 1,5 | 0,5 | 0,2 | 0,5 | 0,7 | 1,5 |
Тема 3. Граничні теореми.
|
|
Завдання 3
Ціль завдання – навчитися обчислювати ймовірності появи події А при великому числі n незалежних випробувань. Придбати навички у використанні таблиці для функції Лапласа.
Завдання містить одну задачу. Варіанти наведені в Таблиці 4.
Завдання № 1. Відділ технічного контролю перевіряє якість навмання відібраних n виробів. Імовірність того, що деталь задовольняє вимогам стандарту, дорівнює р. Знайти ймовірність того, що серед відібраних виробів виявиться:
а) m некондиційних;
б) не більш, ніж m1 некондиційних;
в) від m1 до m2 некондиційних.