Приклад виконання завдання. Тема 1. Випадкові події. Класичне означення ймовірності

Тема 1. Випадкові події. Класичне означення ймовірності.

Теореми теорії ймовірностей.

Завдання № 1

Ціль завдання – закріплення знань основних понять теорії ймовірностей (випадковий експеримент, випадкова подія, ймовірність появи випадкової події). Придбання вмінь і навичок у виконанні операцій над подіями й у підрахунку ймовірностей настання випадкових подій. Завдання містить чотири задачі. Варіанти наведені в Таблиці 1.

Задача 1. У партії з s виробів r - бракованих. Визначити ймовірність того, що серед обраних навмання для перевірки g виробів виявляться бракованими:

а) рівно h виробів;

б) не більше h виробів.

Задача 2. У збиральний цех заводу надходять деталі із трьох автоматів. Перший автомат дає % браку, другий - %, третій - %. Визначити ймовірність влучення на зборку не бракованої деталі, якщо з кожного автомата в цех надійшло відповідно L, M, N деталей.

Задача 3. У збиральний цех заводу надходять деталі із трьох автоматів. Перший автомат дає % браку, другий - %, третій - %. З кожного автомата надійшло на зборку відповідно L, M, N деталей. Узята на зборку деталь виявилася бракованою. Знайти ймовірність того, що деталь надійшла з 1-го автомата.

Задача 4. Робітник обслуговує a верстатів. Ймовірність виходу верстата з ладу за зміну дорівнює p. Яка ймовірність того, що робітникові прийде ремонтувати c верстатів? Яке найімовірніше число верстатів, що вимагають ремонту за зміну?

Приклад виконання завдання.

1. У ящику перебуває 10 деталей, серед яких 3 бракованих. З ящика навмання витягають 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться:

а) дві браковані;

б) не більше одного бракованого;

в) хоча б одне браковане.

Розв’язання. а) Подія А - серед 5-ти витягнутих деталей 2 бракованих, а три доброякісних.

Для підрахунку m і n використаємо правило сполучень:

n = , P(A) = = = .

б) Нехай подія А - серед обраних виробів не більше одного бракованого,

Розглянемо події: А - серед обраних виробів - жодного бракованого,

А - серед обраних виробів - один бракований.

Тоді А = А + А , причому А , А - несумісні. По формулі додавання шукана ймовірність Р(А) =Р(А + А ) =Р(А ) +Р(А ),

Р(А ) = = = , Р(А ) = = = ,

Р(А) = Р(А) =

в) Нехай подія В - серед обраних виробів хоча б один бракований.

Можна вирішити це завдання за допомогою формули додавання, але рішення буде значно простіше, якщо перейти до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих.

= А , Р() = Р (А ) = , Р(В) = 1 - Р() = 1 - =

2. На двох автоматичних верстатах виготовляються однакові валики. Імовірність виготовлення валика вищого сорту на першому верстаті дорівнює 0,95, а на другому - 0,80. Виготовлені на обох верстатах не розсортовані валики перебувають на складі, серед них валиків, виготовлених на першому верстаті, у три рази більше, ніж на другому. Визначити ймовірність того, що навмання взятий валик виявиться вищого сорту.

Позначимо А - подію, що складається в тім, що взятий навмання валик виявиться вищого сорту;

B - подія, що складається в тім, що взятий навмання валик

зроблений на першому верстаті;

B - подія, що складається в тім, що валик зроблений на другому

верстаті.

Застосувавши формулу повної ймовірності одержимо:

Р(А) = Р(В )Р(А/ В ) + Р(В )Р(А/ В ).

Оскільки валиків, зроблених на першому верстаті, в 3 рази більше, ніж на другому, то Р(В ) = , Р(В ) = .

У завданні дані умовні ймовірності: Р(А/ В ) = 0,92,Р(А/ В ) = 0,80.

Шукана ймовірність: Р(А) = = 0,89.

3. В умовах Приклада 2, узятий навмання валик виявився вищого сорту. Визначити ймовірність того, що він зроблений на першому верстаті.

Використовуючи позначення Приклада 2, по формулі Баейса одержимо:

Р(В /А) = = = 0,76.

4. Вироби деякого виробництва містять 5% браку. Знайти ймовірність того, що серед шести, узятих навмання виробів:

1) будуть два бракованих;

2) не буде бракованих;

3) буде хоча б один бракований.

Тут А – поява бракованого виробу, Р(А) = 0,05, Р() = 1- 0,05 = 0,95,

n=6. По формулі Бернуллі

1) при m = 2, Р(6,2) = = 0,03;

2) при m = 0, Р(6,0) = (0,95) 0,73;

3) у цьому випадку завдання можна вирішити двома способами.

Перший спосіб. Використовуючи формулу додавання, одержимо

Р(6,1) + Р(6,2) = 0,27.

Другий спосіб. Перейдемо до протилежної події - серед обраних виробів немає бракованих. Ймовірність цієї події обчислена в п.2) і дорівнює 0,73. Тоді шукана ймовірність

Р( 1 – 0,73 = 0,27.