Оценка параметров (a,b,c..) в выбранной модели

Так как корреляционная связь имеет вероятностный характер, то в процессе решения должна осуществляться проверка на типичность параметров уравнения. Проверку целесообразно проводить в том случае, если численность объектов анализа меньше 30.

3. Проверка значимости уравнения регрессии.

Если расчет производится по нескольким моделям, то выбирается такая модель, которая обеспечивает наибольшее соответствие фактических данных и результатов расчетов по данным модели. Такое соответствие проводится с использованием следующих показателей.

Средняя ошибка аппроксимации может быть вычислена по следующей формуле:

 

(7.1)

где: | Y_i - Yx_i | - разность линейных отклонений абсолютных величин эмпирических (фактических) Y_i и выравненных Yx_i по уравнению точек регрессии.

 

Возможна оценка типа связи по остаточной дисперсии, рассчитанной для каждой модели, аппроксимирующей зависимость результирующего признака от факторных признаков:

(7.2)

Нахождение параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов. В основу этого метода положено требование минимизации сумм квадратов отклонений эмпирических данных Yi от выравненных Yx_i, т.е. .

Регрессия может быть парная Y = f (X), если исследуется зависимость между результирующим и факторным признаком, и множественная, если число факторных признаков равно двум и более, т.е. Y = f (X₁,X₂,...X_к ).

Регрессионный анализ и корреляционный анализ тесно связаны, т.к. с помощью регрессионного анализа находится уравнение связи между признаками (уравнение регрессии), а с помощью корреляционного анализа оценивается теснота связи.

Корреляционно-регрессионной моделью системы взаимосвязанных признаков является такое уравнение регрессии, которое включает основные факторы, влияющие на вариацию результативного признака, обладает значимыми коэффициентами детерминации и регрессии.

Показатели тесноты связи:

Коэффициент корреляции -показывает тесноту связи между переменными. В случае прямолинейной зависимости определяется линейный коэффициент корреляции r:

. 7.3)

Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютному значению к единице, тем более тесная связь. Если коэффициент корреляции равен 0, то связи нет. О мере тесноты связи можно судить по шкале Чеддока.

 

Показания тесноты связи (значения линейного коэффициента корреляции)	|0,1...0,3|	|0,3…0,5|	|0,5…0,7|	|0,7…0,9|	|0,9…0,99|
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

 

Коэффициент детерминации (детерминированности) r² обычно выражается в процентах. Он показывает долю факторной дисперсии в общей дисперсии результативного признака.

При показании тесноты связи | r | < 0,7 величина коэффициента детерминации всегда меньше 50 процентов. Это означает, что факторный признак влияет на результативный не более, чем в 50 процентах случаев.

При небольшой статистической совокупности производится оценка значимости показателей по критериям Стьюдента или Фишера.

Для прямолинейной зависимости обычно применяют критерий Стьюдента. Расчетное значение критерия t _r находится по формуле:

(7.4)

где n - количество членов изучаемой совокупности факторного признака.

По таблице Стьюдента или с использованием стандартной функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР(Значимость[1]; Число степеней свободы) находится критическое значение критерия t_крит с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы, равных (n-2). При уровне значимости 0,05 доверительная вероятность равна 95%.

 

Пример использования стандартной функции MS Excel СТЬЮДРАСПОБР.

Для вызова функции в MS Excel необходимо активизировать меню Вставка, Формула и ввести исходные данные в открывшемся окне:

В результате выполнения функции будет получено табличное или критическое значение t_крит.

После получения результата необходимо сравнить расчетное t_r и табличное (критическое) значение t_{крит .} Если t_r > t_крит, то линейный коэффициент корреляции можно признать существенным (значимым), а связь между У и Х - реальной.

При нелинейных видах зависимости, а также в случае множественной регрессии производится оценка коэффициента детерминированности по критерию Фишера. Расчетное значение критерия F _r находится по формуле:

(7.5)

где m - число параметров уравнения.

 

F_крит находится с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы k1=m-1 и k2=n-m по таблице Фишера или путем использования стандартной функции Excel FРАСПОБР(Значимость, Число степеней свободы k1, Число степеней свободы k2).

При F_r > F_крит коэффициент корреляции можно признать значимым.

Для подтверждения гипотезы о наличии линейной связи можно воспользоваться оценкой значимости коэффициентов линейной регрессии, что является необходимым применительно к совокупностям, число наблюдений в которых не превышает 30. Расчетные (фактические) значения Т-критерия определяются для каждого из параметров модели.

Для параметра а₀:

Для параметра а₁ :

где

- значение затрат, вычисленное по модели (выравненных значений);

- среднее квадратическое отклонение результативного признака от выравненных значений, рассчитанных по модели;

- среднее квадратическое отклонение факторного признака х от общей средней.

Сравнение расчетных значений Т-критерия Стьюдента с табличными (теоретическими) проводится по методике, изложенной при проверке значимости коэффициента корреляции.

Если в силу особенностей исходных данных затруднения вызывает выбор адекватной регрессионной модели, то расчет осуществляется по нескольким моделям и производится оценка адекватности модели с использованием средней ошибки аппроксимации по формуле (7.1) и дальнейшая проверка значимости коэффициента корреляции или корреляционного отношения и параметров модели.

 

Содержание отчета

1. Исходные данные.

2. Расчетная часть.

3. Графики связи между факторами

4. Аналитическая записка

 

Примечание: Вследствие трудоемкости расчеты рекомендуется выполнять средствами вычислительной техники. Существуют специальные встроенные функции для корреляционно-регрессионного анализа в пакете прикладных программ EXCEL. Однако для получения более полной картины лучше применять специализированные статистические пакеты прикладных программ, например, STATISTICA, SPSS, STATGRAPHICS и др.