Примеры решения задач. Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м)

 

Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м). Определить скорость точки в моменты времени t₁=2 с и t₂=4 с, а также среднюю скорость в интервале времени от t₁ до t₂.

 

Решение:

Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае

(м/с).

Найдем V₁ и V₂:

, м/с;

, м/с.

Средняя скорость

где (м), (м)

м/с.

 

Ответ: V₁=7 м/с, V₂=11,4 м/с, м/с

 

Задача 2. Тело массой кг движется по вертикальной стене. Сила действует под углом a = 30⁰ к вертикали. Коэффициент трения . Найти величину силы , если ускорение тела направлено вверх и равно a = 2 м/с² .

 

Решение:

На тело действуют четыре силы: сила , сила тяжести , сила реакции опоры и сила трения . Покажем эти силы на рисунке.

Запишем II закон Ньютона в виде

. (1) Ось OY направим вертикально вверх, ось OX – перпендикулярно стене. В проекциях на оси координат уравнение (1) примет вид

OХ: (2)

OY: . (3)

Сила трения скольжения

. (4)

Используя (2) и (4), перепишем (3):

.

Отсюда

Н.

Ответ: Н.

 

Задача 3. Частица массой m₁, имеющая скорость V₂, налетела на покоящийся шар массой m₂ и отскочила от него со скоростью U₁ под прямым углом к направлению первоначального движения. Какова скорость U₂ шара после соударения? Считать удар центральным.

 

Решение:

Используя закон сохранения импульса, получим

На рисунке покажем импульсы тел.

 

Модуль импульса шара найдём, используя теорему Пифагора:

,

отсюда

Ответ:

 

Задача 4. Шар массой M висит на нити длиной l. В шар попадает горизонтально летящая пуля и застревает в нём. С какой скоростью V₀ должна лететь пуля, чтобы в результате попадания пули шар мог сделать на нити полный оборот в вертикальной плоскости? Размерами шара пренебречь. В верхней точке сила натяжения нити равна нулю. Масса пули m.

Решение:

 

 

Обозначим: V – скорость шара с пулей сразу после неупругого соударения, U – скорость шара с пулей в верхней точке.

В проекциях на ось OX закон сохранения импульса имеет вид

 

mV₀ = (m + M) V. (1)

Выберем нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии, совпадающий с осью OX.

В нижнем положении шар с пулей обладает только кинетической энергией ; в верхней точке - кинетической и потенциальной (m+M)gh энергиями, где h = 2R =2l.

Закон сохранения механической энергии запишем в виде

. (2)

После преобразований

. (2¢)

В верхней точке на шар с пулей действует сила тяжести, по условию задачи сила натяжения нити равна нулю. Используем II закон Ньютона:

(3)

где

Из уравнения (1) выразим V₀:

_. (4)

Из уравнения (3)

(5)

Подставив (5) в (2¢), получим

Найдем V₀, вернувшись к (4)

Ответ:

 

Задача 5. По наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.

 

Решение:

Тело участвует в сложном движении:

 

1)поступательно движется вниз по наклонной плоскости;

2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.

 

На рисунке покажем силы, действующие на тело.

Для поступательного движения запишем II закон Ньютона в проекциях на ось OX.

. (1)

Для вращательного движения используем закон

, (2)

где - момент инерции, - угловое ускорение.

Момент силы создает сила трения, плечо которой равно R, две другие силы не создают вращающего момента.

.

Перепишем (2):

.

Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):

Отсюда

. (4)

Зная моменты инерции диска и шара

,

найдем ускорения диска и шара

,

Ответ: ,

 

Задача 6. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями . Найти их относительную скорость.

 

Решение:

Согласно теореме сложения скоростей в теории относительности,

, где , -скорости первой и второй частицы; - их относительная скорость: с- скорость света в вакууме.

Это означает, что, во первых, ни в какой инерциальной системе отсчёта скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.

Ответ: = 0,91С.

 

Задача 7. Математический маятник длиной l₁=40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной l₂=60 см синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние a центра масс стержня от оси колебаний.

 

Решение:

При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны ,

где .

Отсюда

(1)

Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:

(2)

Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение

(3)

Из (3) найдем два корня: a₁=10 см, a₂=30 см.

Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.

Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.

Ответ: a₁=10 см, a₂=30 см.

Задача 8. К пружине подвешен груз массой . Зная, что пружина под влиянием силы растягивается на , определить период вертикальных колебаний груза.

Решение

Период колебаний груза на пружине , где - коэффициент жесткости пружины. Учитывая, что , находим и, подставив, получим .

Ответ: .