Метод контурных токов

В этом методе вводят понятие «контурный ток», который протекает по всем ветвям соответствующего независимого контура. Действительные токи ветвей определяются контурными токами.

Расчет электрической цепи методом контурных токов выполняют в следующей последовательности:

1. Выбираются произвольно положительные направления контурных токов в независимых контурах и указываются на схеме (целесообразно для всех контуров направления токов выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке);

2. Составляется система уравнений относительно контурных токов на основании второго закона Кирхгофа для каждого независимого контура (направление обхода контура совпадает с направлением контурного тока);

3. Определяются контурные ЭДС (алгебраическая сумма величин ЭДС, входящих в данный контур), собственные сопротивления контуров (сумма сопротивлений ветвей входящих в данный контур), взаимные сопротивления двух смежных контуров (сопротивление ветви входящей одновременно в два рассматриваемых контура);

4. Решается система уравнений относительно контурных токов;

определяются действительные токи ветвей по известным контурным токам: токи внутренних (смежных) ветвей схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. Токи внешних ветвей равны соответствующим контурным токам.

Метод контурных токов понижает порядок системы уравнений по сравнению с методом непосредственного применения законов Кирхгофа, так как число неизвестных равно числу независимых контуров.

2. Для заданной электрической схемы по заданным сопротивлениям и ЭДС

определить токи в ветвях методом контурных токов.

Решение. Выбираем произвольно положительные направления контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃ в независимых контурах.

Для электрической цепи с тремя независимыми контурами на основании второго закона Кирхгофа можно записать в формализованном виде эта система уравнений приобретает следующий вид:

(1.1)

где: R₁₁, R₂₂, R₃₃ - собственные сопротивления соответствующих контуров:

R₁₂, R₁₃, R₂₁, R₂₃, R₃₁, R₃₂ – взаимные сопротивления контуров, т.е. сопротивления смежных ветвей для двух соответствующих контуров, взятые со знаком минус:

Е₁₁, Е₂₂, Е₃₃ – контурные ЭДС первого, второго и третьего контуров соответственно:

Система уравнений может быть записана непосредственно либо в форме (1.1) либо в матричном виде:

. (1.2)

Систему уравнений (1.1) решаем методом Крамера и находим контурные токи:

, (1.3)

где:

Полученные результаты подставим в (1.3):

Если придерживаться направлений токов, принятых для схемы в примере 1, то во внешних ветвях они равны соответствующим контурным токам с учетом направления: