2018-01-21
7107
Анализ и расчет электрических цепей синусоидального тока производится с помощью уравнений электрического состояния, составленных с помощью законов Кирхгофа. Первый и второй законы Кирхгофа справедливы для мгновенных значений переменных токов и напряжений. Но тригонометрические преобразования, которые необходимы при анализе разветвленных электрических цепей синусоидального тока, будут очень громоздкими по сравнению с расчетами цепей постоянного тока.
Из курса математики и физики известно, что величины, изменяющиеся синусоидально в функции времени, в том числе токи, напряжения и ЭДС, могут быть представлены в виде вращающихся векторов и изображены графически в декартовой системе координат с помощью радиус-векторов. Законы Кирхгофа, записанные в векторной форме, используют для графоаналитического расчета и анализа электрических цепей синусоидального тока. Такие расчеты, выполняемые графически в форме геометрических операций над векторами, просты, наглядны, но не обладают требуемой точностью.
|
|
|
Если декартовую систему координат совместить с комплексной плоскостью, то радиус-векторам токов, напряжений и ЭДС будут соответствовать определенные комплексные числа. Это позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. Законы Ома и Кирхгофа могут быть записаны в комплексной форме. В результате этого, к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Комплексное представление синусоидальных электрических величин сочетает наглядность векторных диаграмм и высокую точных аналитических расчётов, поэтому рассмотрим этот метод, получивший название символического метода, более подробно.
В качестве примера рассмотрим мгновенные значения напряжения u(t), приложенного к приемнику (пассивному двухполюснику), и тока приемника i(t) (рис. 2.2, а). Аналитически они выражаются через синусоидальные функции времени:
; (2.1)
,
где Um, Im – амплитуды тока и напряжения, соответственно;
ω – угловая частота: ω = 2πf;
f – частота переменного тока;
ψu , –ψi – начальные фазы напряжения и тока, соответственно.
На комплексной плоскости напряжение и ток изображаются радиус-векторами 
для ωt=0 (рис. 2.2, б). Положение векторов на комплексной плоскости определяется начальной фазой. Так как начальная фаза напряжения больше нуля, то вектор 
смещен относительно действительной оси (+1) в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол ψu, а вектор тока 
сдвинут относительно действительной оси на угол -ψi<0 в отрицательном направлении, по часовой стрелке. Радиус-векторам 
соответствуют комплексные числа (комплексные амплитуды):
|
|
|
; (2.2)
, (2.3)
представляющие собой координаты точек на концах векторов или проекции векторов на действительную и мнимую оси. Данная форма записи комплексных амплитуд называется алгебраической. Выражая проекции векторов через их длину (модули) и начальную фазу, получим тригонометрическую форму записи комплексных амплитуд:
. (2.4)
Из тригонометрической формы комплексного числа вытекает, согласно формулы Эйлера (
), показательная форма записи:
(2.5)
Все три формы записи комплексных амплитуд равнозначны и могут быть использованы при расчетах электрических цепей переменного тока. Выбор формы определяется удобством выполнения требуемой математической операции. На практике при расчетах пользуются действующими значениями. Под комплексом действующих значений синусоидальных токов и напряжений понимают:
; (2.6)
Сопротивление приемника (пассивного двухполюсника), определяемое из закона Ома через комплексы действующих значений напряжения и тока, обозначается Z и называется комплексным сопротивлением:
, (2.7)
где Z - модуль комплексного сопротивления, 
;
φ = ψu- (-ψi) = ψu+ ψi – фазовый сдвиг между током и напряжением;
R – активное сопротивление приемника: R=Zcosφ;
Х – реактивное сопротивление приемника: X=Zsinφ.
По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю:
. (2.8)
В комплексной форме это уравнение запишется как
. (2.9)
По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений любого контура электрической цепи равна нулю:
, (2.10)
а в комплексной форме
(2.11)
Если в контуре имеются источники ЭДС, а схемы замещения содержат активные сопротивления R, индуктивные (L) и емкостные(C) элементы, то для замкнутого контура уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа, будет иметь в символической форме следующий вид:
. (2.12)
