Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

1 2 3 4 5 6 7

Электрические цепи постоянного тока

Задание 1

Для заданной электрической схемы по заданным сопротивлениям и ЭДС (табл. 1.1) выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти токи во всех ветвях цепи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность расчета токов в ветвях электрической цепи с помощью баланса мощностей;

Вари-ант

Рис.

Е₁, В

Е₂, В

Е₃, В

r₀₁, Ом

r₀₂, Ом

r₀₃, Ом

r₁, Ом

r₂, Ом

r₃, Ом

r₄, Ом

r₅, Ом

r₆, Ом

1.53

0,6

1,2

0,1

3,4

3,8

4,3

Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей

Для анализа и расчета электрических цепей пользуются законами Кирхгофа, которые устанавливают соотношения между токами ветвей, сходящихся в узлах, и напряжениями элементов, входящих в контуры. Для определения токов и напряжений необходимо составить уравнения цепи с помощью первого и второго законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа, вытекающий из закона сохранения заряда:

алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

ΣI=0. (1.1)

Алгебраическое суммирование осуществляется с учетом направления токов: токи, входящие в узел, считаем положительными, а токи, выходящие из узла - отрицательными.

Второй закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения энергии:

алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

ΣIR=ΣE. (1.2)

Суммирование падений напряжений и ЭДС производится с учетом их направлений и выбранного направления обхода контура. Если направление ЭДС и падение напряжения совпадают с направлением обхода контура, то они входят в уравнение (1.2) со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Метод анализа и расчета электрических цепей на основе первого и второго законов Кирхгофа выполняется в следующем порядке:

устанавливается число ветвей и узлов в расчетной цепи;

выбираются произвольно условно-положительные направления токов в ветвях и обозначаются на схеме;

выбираются произвольно положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа (целесообразно для всех контуров направления обхода выбирать одинаковыми);

составляется система из m уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, где m - количество неизвестных токов, равное количеству ветвей.

По первому закону Кирхгофа можно составить (n-1) независимых уравнений, где n - количество узлов цепи. Остальные [m-(n-1)] уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. контуров, отличающихся хотя бы одной новой ветвью, не вошедшей в предыдущие контуры.

Пример 1.1. В качестве примера составим систему уравнений для определения токов в электрической цепи, схема которой изображена на рисунке 1.1,а. Здесь известны сопротивления, величины и направления ЭДС.

Данная цепь имеет шесть ветвей (m=6) с неизвестными токами и четыре узла (n=4). Необходимо составить шесть уравнений. Выбираем произвольно положительные направления токов в ветвях и положительные направления обхода независимых контуров (по часовой стрелке) (рис, 1.1, б). Чтобы получить линейно независимые уравнения по первому закону Кирхгофа составим три уравнения (n-1=3), а остальные уравнения: m-(n-1)=3, по второму закону Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа:

- для узла 1 , (1.3)

- для узла 2 , (1.4)

- для узла 3 . (1.5)

По второму закону Кирхгофа:

- для контура I: , (1.6)

- для контура II: , (1.7)

- для контура III: . (1.8)

Полученная система уравнений (1.3 … 1.8) достаточна для определения токов в ветвях цепи, но ее порядок относительно высок. Понизить порядок системы уравнений, а, следовательно, упростить расчеты можно с помощью методов контурных токов и узловых напряжений (потенциалов).

Задание 1

1. Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа (здесь и далее схема развернута);