Устойчивость систем 1го, 2го порядка и более высокий порядок

+ x = 0, u = 0

Вводим p = Оператор Лапласа

x( p + ) = 0, 0 – уравнение в операторной форме

ap + = 0 – характеристическое уравнение

p* = - – вектор собственного значения

x =

c – собственный вектор с =

Рис. Устойчивое и неустойчивое апериодическое движение

Для устойчивости линейной системы 1 порядка необходимо, чтобы ее вещественные корень был строго отрицательный. Если система описывается дифференциальным уравнением 1 порядка, то ее движение является апериодичноустойчивым или неустойчивым.

Для устойчивости динамической системы необходимо существование сил или момента, которые будут направлены к положению равновесия при начальном отклонении.

Для асимптотической устойчивости необходимо существование демпфирующего момента, который будет всегда направлен против вектора линейной или угловой скорости.

Пример использования MatLab для определения устойчивости системы 1 порядка.

MatLab 6.5.1

ControlToolbox линейный анализ и синтез

Угловое вращение самолета по крену:

=

– момент инерции по крену; – коэффициент демпфирующего момента.

=

Для расчетов преобразуем в уравнение в форме Кошиотносительно производной

=

–элемент динамических коэффициентов

Для решения задачи указываем курсором на значок MatLab, загружаем систему и на наборном поле указываем исходные данные:

S = 180

L = 27

V = 200

= 0.37

= 0.5 - V 2

= -7.3

= q S L

=

damp (A)

Собственное значение -3.5, коэффициент относительного демпфирования 1, собственная частота 3,5.