2018-01-21
3522
АКОР – представляет собой выбор оптимальных коэффициентов усиления для линейной стационарной системы по квадратичному критерию качества.
В основе метода АКОР лежит применение теоремы Ляпунова об устойчивости для линейных систем, удовлетворяющих условию: положительной определенной квадратичной форме при отрицательном значении ее производной.
Рассматривается линейная система:
Функция Ляпунова: 
- система устойчива.
Если для линейной системы существует положительно-определенная 
– функция Ляпунова и ее производная , то линейно-динамическая система устойчива. Интерпретация метода Ляпунова. Если функция Ляпунова равна квадрату расстояния до положения равновесия и это величина убывает, то система стремится к положению равновесия, следовательно, движение к положению равновесия устойчиво.
Рис. Интерпретация метода Ляпунова
Пример.
Если 
, 
– система устойчива.
, оператор Лапласа 
,
Корень характеристического уравнения 
.
Пример.
– система устойчива.
|
|
|
Для систем третьего и более высокого порядка сложно подобрать функцию Ляпунова для проверки устойчивости. Для выбора функции Ляпунова на основе метода динамического программирования решена задача о выборе функции Ляпунова методом АКОР.
Для линейной стационарной системы:
… 
Описываемой векторным уравнением:
Задается квадратичный критерий качества:
Критерий качества в матричной форме:
Определяется оптимально уравнение 
из условия минимума квадратичного критерия.Оптимальным решением является линейный регулятор 
, где 
,
.
Матрица 
определяется из уравнения Риккати:
Это уравнение позволяет найти четыре значения для матрицы Сильвестра , из которых два комплексных решения, одно – неустойчивое и только одно устойчивое решение. Это решение определяет оптимальные коэффициенты усиления для задачи аналогичного конструирования.
Для решения задачи АКОР необходимо ввести матрицу динамических коэффициентов, матрицу коэффициентов управления, матрицы весовых коэффициентов 
и 
и записать обращение к стандартной программе 
В результате будут вычислены матрицы оптимальных коэффициентов K, матрица Сильвестра S и матрица собственных значений системы E.
Пример.
I
0 
0 
0
= 1 0 0 0 
+ 0 U
0 0 0 1 
0
0 0 0 0 
1
При выборе весовых коэффициентов и 
можно использовать метод Беллмана:
Полученное решение является оптимальным управлением с отрицательной обратной связью по координатам состояния.
Общее число измеряемых координат намного меньше числа координат состояния, поэтому решается задача аналитического конструирования управления только по измеряемым координатам.
|
|
|
привод самолет S 1/S
-- Ky
Ky
Рис. Схема управления по измеряемым координатам
MatLab:
Матрица перекрестных связей:
или 
Синтез системы в пространстве состояний основан на описании уравнений движения в математической форме с использованием матрицы динамических коэффициентов а, матрицы управления b, матрицы измерений с и матрицы коэффициентов влияния управления на измерениях d.
Метод размещения измерений матрицы динамических коэффициентов замкнутой системы требует ввода технического задания на значение частот и коэффициентов относительного демпфирования исполнительных устройств, короткопериодического движения самолета и траекторного движения.
Программа place позволяет найти необходимые коэффициенты усиления
.
Метод АКОР требует задать весовые коэффициенты для квадратов допустимых отклонений координат и управления. В этом случае получается оптимальным по точности система с собственными частотами и коэффициентами демпфирования, которые зависят от выбранных весовых коэффициентов.
