Алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица

 

Данные критерии позволяют судить об устойчивости по коэффициентам характеристического полинома и вычислять граничные значения параметровперегрузки и скоростей системы. Используется для определения критериев устойчивости по n и V и расчета граничных значений параметров, при которых система теряет устойчивость.

Метод Гурвица использует матричные преобразования, а метод Рауса использует расчет определителей, получаемых из матричных преобразований Гурвица.

Дано:

–матрица Гурвица

Главные миноры:

Критерий устойчивости Гурвица:

Линейная динамическая система будет устойчива ивсе корни характеристического полинома будут иметь отрицательные вещественные части, если выполняется условия:

1. Все коэффициенты характеристического полинома строго положительны.

2. Определители всех главных миноров и определитель Гурвица строго положительны.

Если значение определителя минора или матрицы Гурвицы равняется нулю, то значения параметров соответствуют области на границе устойчивости.

Пример 1.

Дано: Т и К

Определить: является ли система устойчивой?

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция заданной системы:

- система неустойчива.

 

Пример 2.

Коррекция с использованием форсирующего звена.

Дано: Т и к

Определить: для обеспечения устойчивости.

Если значения , то вещественная часть корня на границе равна нулю и система будет консервативной с постоянными незатухающими колебаниями. Чем дальше значение от границы, тем больше будет зона устойчивости по величине вещественной части корня, тем больше будет демпфирование и меньше время переходного процесса.

Форсирующее звено может быть реализовано с коэффициентом усиления по скорости для управления угловым движением самолета допустимо значение .

 

Пример 3.

Коррекция с использованием жесткой обратной связи для одного интегрирующего звена.

Дано: Т и к

Определить: для обеспечения устойчивости.

Передаточная функция внутреннего контура:

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы:

Определитель Гурвица:

 

Рекомендации для решения задачи.

1. В соответствии с исходными данными вычислить и .

2. Для заданных значений параметров к исходной и скорректированной системы выполнить моделирование в системе Simulink.

Методика имитационного моделирования.

1. На рабочем поле MatLab набрать команду Simulink.

2. По команде откроется библиотека графических изображений элементов схемы.

3. На опции «окно» нажать левую клавишу для открытия наборного поля.

4. Из библиотеки перенести на рабочее поле графические образы элементов схем.

5. Настроить графические образы по заданным значениям параметров передаточных функций.

6. С использованием курсора показать порядок соединения элементов схемы. Правильное соединение обозначается черным, неправильное – красным.

7. По опции exit командой start показать начало моделирования.

8. При нажатии клавиши мыши слева при указании курсора на графопостроитель получить результаты в виде графиков.