Лінійна модель вхід-вихід одноканальної динамічної системи

, -коефіцієнти (параметри моделі, 0 ≤ m<n,, n -порядок моделі, , (2.1)

- лінійне неоднорідне диференційне рівняння n- го порядку.

Права частина цього рівняння визначає зовнішню дію на систему.

Cтаціонарні системи - значення параметрів незмінні:

, .

Нестаціонарні системи - параметри є функціями часу,

.

 

У разі, коли ,, рівняння (2.1) називається приведеним.

 

Для спрощення застосовують операторну форму.

Оператор диференціювання, , .

 

Рівняння ВВ (2.1) в операторній формі:

(2.2)

= .

Або (2.3)

де a , (2.4)

b . (2.5)

Загальне рішення лінійного неоднорідного диференційного рівняння n- го порядку з постійними коефіцієнтами є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння і частинного рішення неоднорідного рівняння:

 

Відповідне однорідне рівняння:

0.

Однорідне рівняння описує динаміку системи при умові, що зовнішня дія на неї відсутня. Для його вирішення використовують підстановку Ейлера, а саме:

Ця підстановка приводить розв’язання лінійного диференційного рівняння до алгебраїчного рівняння

exp(pt)=0.

Або = 0. (2.6)

 

У виразі а(p) і b(p) мають спеціальні назви.

а(р) - характеристичний поліном диференціального рівняння (2.1) або власний оператор

a .

Корені рівняння (2.6) а(р)=0 називають полюсами системи (2.1).

У загальному випадку рівняння а(р)=0 маємає n комплексних коренів .

 

b(p) -характеристичний поліном правої частини (2.1)

або оператор дії:

b .

Корені рівняння b(р)=0 називають нулями системи (2.1).

У загальному випадку рівняння b(р)=0 має m комплексних коренів .

Передавальна функція

З виразу (2.3) знайдемо явний зв’язок вихідної та вхідної змінної:

.

або = (2.8)

передавальна функція в операторній формі.

З (2.7) випливає .

У лекції 5 передавальна функція буде розглянута детальніше.