(14.2)
де - вагові константи.
Після обчислення інтеграла за допомогою формули Парсеваля отримаємо деяку функцію від параметрів
Тут α означає вектор, компонентами якого є параметри системи.
Рівність Парсеваля. Розглянемо рівність Парсеваля. яка використовується при обчисленні інтегральних квадратичних оцінок. Якщо є зображенням Лапласа функції x (t) і його полюси розташовані в лівій півплощині, то справедлива рівність Парсеваля
На параметри системи можуть бути накладені обмеження у вигляді рівностей і нерівностей:
Тому в загальному випадку розглянута задача синтезу зводиться до наступної задачі на умовний мінімум:
(14.3)
Це завдання може бути вирішене різними способами.
Замінимо нерівності (14.3) рівностями. Для цього вводяться додаткові невідомі параметри :
.
Задача (14.3) приймає вигляд:
(14.4)
де
Завдання (14.4) в принципі може бути вирішене методом невизначених множників Лагранжа. Відповідно до цього методу складається функція Лагранжа
і задача (6.4) зводиться до задачі на безумовний екстремум
Тут и в особливому випадку (тобто коли постановка задачі має сенс).
Приклад 14.1. За умови, що = і визначити параметр , при якому перехідний процес системи (див. рис. 5.1) є аперіодичним та інтегральна квадратична помилка приймає мінімальне значення.
Рішення. Перехідний процес буде аперіодичним, якщо корені характеристичного рівняння розглянутої системи
будуть речовими, тобто якщо детермінант цього рівняння або
Так як , то помилка . Об'єкт включає інтегруючу ланку. Тому система є астатичной щодо задаючого впливу та статична помилка e_ . Перехідна складова помилки
Переходячи до зображень Лапласа,отримаємо
Отже,
(14.5)
Цей інтеграл обчислюється за допомогою теорії відрахувань і для має наступний вигляд
(14.5 a)
; (14.5 б)
(14.5в)
У даному випадку (див. (14.5))
Тому (див. (4.176))
Вочевидь, що приймає мінімальне значення за умови , коли