Умови граничної стійкості

Нагадаємо, що система знаходиться на межі стійкості, або має місце гранична (маргінальна) стійкість, якщо її характеристичний поліном має нейтральні (тобто розташовані на уявній вісі) нулі і не має правих нулів. Такий поліном називають маргінально стійким.

Розглянемо поліном з речовими коефіцієнтами

(14.7)

• Твердження 1. Якщо поліном (14.7) маргінально стійкий, то всі його коефіцієнти не негативні:

(14.8)

Нуль полінома (14.7) називають особливим, якщо- також є нулем цього полінома. Зокрема, всі нулі, розташовані на уявної осі, є особливими.

Поліном (14.7) має l особливих нулів в тому і тільки тому випадку, коли l старших визначників Гурвіца дорівнюють нулю, а (nl)-й визначник відмінний від нуля:

(14.9)

За наявності s нейтральних нулів число правих нулів k визначається за формулою

(14.10)

де 𝑙 - число особливих нулів, - число особливих правих нулів, яке визначається співвідношенням

(14.11)

Якщо є особливі нулі, розташовані поза уявною віссю, то, як випливає з їх визначення, серед них обов'язково буде правий нуль.

• З викладеного вище випливає наступне твердження 2.

Поліном (6.5) маргінально стійкий і l нулів розташовуються на уявної вісі в тому і тільки тому випадку, якщо виконуються наступні дві умови.

1. l старших визначників Гурвіца дорівнює нулю, а інші nl визначників позитивні:

(14.12)

2. Поліном (6.5) не має особливих нулів, розташованих не на уявній вісі.

При використанні даного твердження і встановленні умови 2 важливу роль відіграє наступне твердження.

• Твердження 3. При виконанні необхідної умови (14.8)особливий нуль не може бути дійсним числом, і якщо є особливі нулі, розташовані не так на уявної вісі, то їх кількість дорівнює числу, кратному 4.

• Твердження 4. Якщо виконуються необхідна умова маргінальної стійкості (14.8) і умова (6.10) при 1 ≤ l ≤ 3, то поліном (14.7) маргінально стійкий.

Це твердження безпосередньо випливає з тверджень 2 і 3.

• Твердження 5. Якщо всі коефіцієнти полінома (14.7) з непарними індексами дорівнюють нулю:

(14.13а)