Рассмотрим стержень, работающий в условиях чистого изгиба. Пусть поперечное сечение стержня имеет две оси симметрии и .
Будем считать, что материал одинаково работает как на растяжение, так и на сжатие и нам задан закон, связывающий напряжения с деформацией:
В основу решения положена гипотеза плоских сечений (см. лекция 6). или обозначим кривизну
Форма поперечного сечения балки задается шириной: где
вместо аргумента можно ввести безразмерную координату и рассматривать функцию .
Момент внутренних сил, действующих на элементарную площадку шириной и высотой (см.рис.) равняется:
Изгибающий момент в сечении (учитывая, что ось -ось симметрии):
Выражение (3) можно преобразовать, заменив переменную интегрирования на величину ей пропорциональную . Наибольшие деформации возникнут в точке наиболее удаленной от оси при ; тогда
Интеграл может быть найден при
простом законе и аналитически, а в более сложных
случаях численно.
Таким образом, по заданной кривизне балки мы можем найти величину изгибающего момента. Задаваясь различными значениями кривизны , мы можем с помощью (4) найти соответствующие им значения изгибающего момента и построить график зависимости от .
Имея этот график, можно по заданному моменту найти величину , затем деформации по формуле , а по деформациям из закона определить напряжения, возникающие в поперечном сечении балки при заданном моменте.