Расчет осесимметричных оболочек по безмоментной теории

Напомним, что оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние междукоторыми (толщина оболочки) есть величина малая по сравнению с остальными размерами.

Поверхность, равноудаленная от ограничивающих поверхностей называется срединной поверхностью оболочки.

Оболочки могут иметь переменную толщину, однако мы будем рассматривать только оболочки постоянной толщины.

Оболочки имеют весьма широкое распространение в технике: корпуса судов, летательных аппаратов и ракет; сосуды для хранения жидкостей и газов; трубы; детали машин и приборов; оболочки покрытия в строительстве и т.д.

Достоинством оболочек является то обстоятельство, что обладая выгодными упругими свойствами они способны выдерживать большие нагрузки при минимальной толщине. Это позволяет создавать конструкции легкие и прочные, незаменимые в тех случаях, когда малая масса конструкции жизненно необходима.

Будем рассматривать тонкие оболочки, у которых толщина мала по сравнению с радиусом кривизны поверхности. Если допустить обычную для технических расчетов относительную погрешность в 5%, то тонкими оболочками можно считать такие оболочки, у которых ,

где h – толщина оболочки, R – радиус кривизны.

Приведенная граница, конечно, является условной и иногда, теорией тонких оболочек пользуются для расчета более толстых оболочек, чем указано выше, допуская при этом большую погрешность.

Наиболее распространенный вариант теории тонких оболочек-

– это вариант, основанный на гипотезе Кирхгофа-Лява:

1. Элемент, прямолинейный и нормальный к срединной поверхности до деформации, остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности.

2. Нормальными напряжениями на площадках параллельных срединной поверхности можно пренебречь. Эти допущения совешенно аналогичны тем, что приняты для балок (гипотеза плоских сечений), задача трехмерная сводится к задаче двухмерной. Аналогично тому, как при расчете балок исследование сводится к объекту одномерному – оси балки, так и при расчете тонких оболочек рассматривается объект двухмерный – срединная поверхность оболочки.

Нами будет рассматриваться только один тип оболочек – осе-

симметричные оболочки, т.е. оболочки вращения, срединная поверх-

ность которых образуется вращением кривой относительно оси симметрии.

К осесимметричным оболочкам относятся наиболее распространенные в практике цилиндрические, конические, сферические оболочки.

Ведя расчет оболочек, мы будем исходить из так называемой безмоментной теории. Т.е. считать, что нормальные напряжения распределяются по толщине оболочки равномерно.

Условия существования безмоментного напряженного состояния:

1) Поверхность оболочки должна быть плавной, так чтобы радиус

кривизны не претерпевал резких изменений и не обращался в нуль.

2) Нагрузка, действующая на оболочку, должна также меняться плавно. Не должно быть сосредоточенных сил.

3) Условия закрепления краев оболочки должны быть таковы, чтобы на краях не возникали изгибающие моменты и поперечные силы.

Безмоментное напряженное состояние чрезвычайно выгодно,

т.к. приводит к рациональному распределению напряжений и экономии материала.

 

Уравнение Лапласа.

Рассмотрим осесимметричную оболочку

-радиус кривизны меридиана.

-радиус кривизны параллели.

Положение точки на срединной поверхности можно задавать как пересечение двух координатных линий: параллели и меридиан.

Нагрузку будем считать осесимметричной, т.е. постоянной вдоль параллели, и нормальной к срединной поверхности.

Такой нагрузкой является гидростатическая нагрузка или давление газа.

Выделим в окрестности произвольной точки А малый элемент и исследуем его равновесие.

В силу осевой симметрии все элементы, находящиеся на одной параллели не испытывают сдвига и в их сечениях возникают только нормальные напряжения: - меридиональное, - окружное напряжение. -интенсивность нагрузки (нагрузка на единицу площади).

Т.к. углы малые, то

Спроектируем все силы, действующие на элемент на направление нормали n:

Учтем, что тогда имеем: (1)

Это и есть уравнение Лапласа. Уравнение Лапласа одно, а содержит оно две неизвестные величины и .

Еще одно уравнение получим, если рассечем оболочку по той параллели, в которой мы исследуем напряжения.

Пусть Р – равнодействующая внешней нагрузки, приложенной к оболочке.

В силу осевой симметрии она направлена по оси Z.

Проектируя силы, действующие на отсеченную часть, на ось Z получаем (2)

Определив из (2) и подставив его выражение в (1), находим .

Пример 1.

 

ЛЕКЦИИ XXII