Лінійні однорідні рівняння з сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійні однорідні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами .

Розв’язок будемо шукати у вигляді . Продиференціювавши, одержимо . Підставивши в диференціальне рівняння, отримаємо . Скоротивши на , одержимо характеристичне рівняння . Алгебраїчне рівняння -го степеня має - коренів. У залежності від їхнього вигляду будемо мати різні розв’язки.

1) Нехай - дійсні і різні. Тоді функції є розв’язками й оскільки всі різні, то - розв’язки лінійно незалежні, тобто фундаментальна система розв’язків. Загальним розв’язком буде лінійна комбінація

2) Нехай маємо комплексно спряжені корені . Їм відповідають розв’язки . Розкладаючи їх по формулі Ейлера, одержимо:

І, як випливає з властивості 4, функції й будуть окремими розв’язками. Таким чином, кореням відповідають два лінійно незалежних розв’язки . Загальним розв’язком, що відповідає цим двом кореням, буде .

3) Нехай - кратний корінь, кратності , тобто .

a) Розглянемо випадок . Тоді характеристичне рівняння
вироджується в рівняння .
Диференціальне рівняння, що відповідає цьому характеристичному, запишеться у вигляді . Неважко бачити, що частковими, лінійно незалежними розв’язками цього рівняння, будуть функції . Загальним розв’язком, що відповідає кореню кратності , буде лінійна комбінація цих функцій .

б) Нехай - корінь дійсний. Зробивши заміну , на підставі властивості 2 лінійних рівнянь після підстановки знову одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння . Причому, оскільки а , то показники зв'язані співвідношенням . Звідси кореню кратності відповідає корінь кратності . Як випливає з попереднього пункту, кореню кратності відповідає загальний розв’язок вигляду .
З огляду на те, що , одержимо, що кореню кратності відповідає розв’язок .